Номер 8.47, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.47. Покажите, что сумма двух гармонических колебаний, начальные фазы которых равны нулю, а частоты взаимно равны, также является гармоническим колебанием.

Гармоническое колебание в общем виде описывается уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Рассмотрим два гармонических колебания, $x_1(t)$ и $x_2(t)$. Согласно условию задачи, их начальные фазы равны нулю ($\phi_{01} = \phi_{02} = 0$), а частоты равны ($\omega_1 = \omega_2 = \omega$). Амплитуды колебаний могут быть различными, обозначим их как $A_1$ и $A_2$.

Уравнения этих двух колебаний имеют вид:

$x_1(t) = A_1 \cos(\omega t + 0) = A_1 \cos(\omega t)$

$x_2(t) = A_2 \cos(\omega t + 0) = A_2 \cos(\omega t)$

Найдем сумму этих двух колебаний, которую обозначим как $x(t)$:

$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$

Вынесем общий множитель $\cos(\omega t)$ за скобки:

$x(t) = (A_1 + A_2) \cos(\omega t)$

Полученное уравнение $x(t)$ можно сравнить со стандартной формой гармонического колебания $A_{res} \cos(\omega_{res} t + \phi_{res})$.

Мы видим, что результирующее колебание имеет:

- Новую амплитуду $A_{res} = A_1 + A_2$. Так как $A_1$ и $A_2$ — неотрицательные константы (амплитуды), их сумма $A_{res}$ также является неотрицательной константой.

- Частоту $\omega_{res} = \omega$, которая совпадает с частотами исходных колебаний.

- Начальную фазу $\phi_{res} = 0$.

Поскольку результирующее колебание $x(t)$ описывается уравнением вида $A \cos(\omega t + \phi)$, где амплитуда, частота и фаза являются постоянными величинами, оно, по определению, является гармоническим колебанием.

Ответ: Сумма двух гармонических колебаний с нулевыми начальными фазами и равными частотами, $x(t) = A_1 \cos(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$, преобразуется к виду $x(t) = (A_1 + A_2) \cos(\omega t)$. Это уравнение описывает гармоническое колебание с амплитудой $A_{res} = A_1 + A_2$, частотой $\omega$ и начальной фазой $\phi = 0$. Следовательно, сумма является гармоническим колебанием, что и требовалось доказать.