Номер 8.48, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.48. Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений:

1) $y'' - 4y' + 5y = 0;$

2) $y'' - 2y' + 5y = 0;$

3) $y'' + 2y' + 4y = 0;$

4) $4y'' + 4y' + 5y = 0;$

5) $y'' + 3y' + 6y = 0;$

6) $y'' - 4y' + 8y = 0.$

Для решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида $ay'' + by' + cy = 0$ необходимо составить и решить соответствующее характеристическое уравнение $ak^2 + bk + c = 0$. Вид общего решения зависит от корней этого уравнения.

Если корни $k_1, k_2$ комплексные, $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, то общее решение имеет вид $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

1) Дано дифференциальное уравнение: $y'' - 4y' + 5y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 - 4k + 5 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$.

В данном случае $\alpha = 2$, $\beta = 1$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))$.

2) Дано дифференциальное уравнение: $y'' - 2y' + 5y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 - 2k + 5 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.

В данном случае $\alpha = 1$, $\beta = 2$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$.

3) Дано дифференциальное уравнение: $y'' + 2y' + 4y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 + 2k + 4 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

В данном случае $\alpha = -1$, $\beta = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(\sqrt{3}x) + C_2 \sin(\sqrt{3}x))$.

4) Дано дифференциальное уравнение: $4y'' + 4y' + 5y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $4k^2 + 4k + 5 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8i}{8} = -\frac{1}{2} \pm i$.

В данном случае $\alpha = -\frac{1}{2}$, $\beta = 1$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{-x/2}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))$.

5) Дано дифференциальное уравнение: $y'' + 3y' + 6y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 + 3k + 6 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-15}}{2} = -\frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{15}}{2}$.

В данном случае $\alpha = -\frac{3}{2}$, $\beta = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{-3x/2}(C_1 \cos(\frac{\sqrt{15}}{2}x) + C_2 \sin(\frac{\sqrt{15}}{2}x))$.

6) Дано дифференциальное уравнение: $y'' - 4y' + 8y = 0$.

Соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 - 4k + 8 = 0$.

Находим корни, вычислив дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.

Так как $D < 0$, корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$.

В данном случае $\alpha = 2$, $\beta = 2$.

Общее решение уравнения:

Ответ: $y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$.