Номер 8.45, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.45. Составьте дифференциальное уравнение второго порядка, если его общее решение имеет вид:

1) $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$;

2) $y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}$.

1) Общее решение $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$ является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид решения показывает, что характеристическое уравнение $ak^2 + bk + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Из решения видно, что этими корнями являются $k_1 = 2$ и $k_2 = -2$. Составим характеристическое уравнение по его корням:

$(k - k_1)(k - k_2) = 0$

$(k - 2)(k + 2) = 0$

$k^2 - 4 = 0$

Это характеристическое уравнение соответствует дифференциальному уравнению $y'' - 4y = 0$.

Другой способ — исключение констант $C_1$ и $C_2$ путем дифференцирования.

Дано: $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$.

Найдем первую производную:

$y' = \frac{dy}{dx} = 2C_1e^{2x} - 2C_2e^{-2x}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 4C_1e^{2x} + 4C_2e^{-2x}$.

Заметим, что $y'' = 4(C_1e^{2x} + C_2e^{-2x})$. Так как $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$, мы можем подставить $\text{y}$ в выражение для $y''$:

$y'' = 4y$.

Перенося все члены в одну часть, получаем искомое дифференциальное уравнение:

$y'' - 4y = 0$.

Ответ: $y'' - 4y = 0$.

2) Общее решение $y = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}$ можно записать как $y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$. Это вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет один кратный (повторяющийся) действительный корень. Из вида решения следует, что кратный корень равен $k_1 = k_2 = -1$. Составим характеристическое уравнение по его кратному корню:

$(k - k_1)^2 = 0$

$(k - (-1))^2 = 0$

$(k + 1)^2 = 0$

$k^2 + 2k + 1 = 0$

Это характеристическое уравнение соответствует дифференциальному уравнению $y'' + 2y' + y = 0$.

Проверим это путем дифференцирования.

Дано: $y = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}$.

Первая производная:

$y' = -C_1e^{-x} + C_2(e^{-x} - xe^{-x}) = (-C_1 + C_2)e^{-x} - C_2xe^{-x}$.

Вторая производная:

$y'' = -(-C_1 + C_2)e^{-x} - C_2(e^{-x} - xe^{-x}) = (C_1 - C_2)e^{-x} - C_2e^{-x} + C_2xe^{-x} = (C_1 - 2C_2)e^{-x} + C_2xe^{-x}$.

Подставим $\text{y}$, $y'$ и $y''$ в предполагаемое уравнение $y'' + 2y' + y = 0$:

$((C_1 - 2C_2)e^{-x} + C_2xe^{-x}) + 2((-C_1 + C_2)e^{-x} - C_2xe^{-x}) + (C_1e^{-x} + C_2xe^{-x})$

$= (C_1 - 2C_2 - 2C_1 + 2C_2 + C_1)e^{-x} + (C_2 - 2C_2 + C_2)xe^{-x}$

$= 0 \cdot e^{-x} + 0 \cdot xe^{-x} = 0$.

Тождество выполняется, следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y'' + 2y' + y = 0$.