Номер 8.44, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.44. Найдите общее решение данного дифференциального уравнения:

1) $y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + y = 0;$

2) $9y^{\prime\prime} - 12y^{\prime} + 4y = 0;$

3) $4y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + y = 0;$

4) $y^{\prime\prime} + 8y^{\prime} + 16y = 0;$

5) $9y^{\prime\prime} - 6y^{\prime} + y = 0;$

6) $y^{\prime\prime} + 10y^{\prime} + 25x = 0.$

1) Данное уравнение $y'' - 2y' + y = 0$ является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляется характеристическое уравнение:

$k^2 - 2k + 1 = 0$

Это уравнение можно свернуть в полный квадрат:

$(k - 1)^2 = 0$

Характеристическое уравнение имеет один действительный корень $k = 1$ кратности 2. В этом случае общее решение дифференциального уравнения ищется в виде:

$y = (C_1 + C_2 x) e^{kx}$

Подставляя значение $k=1$, получаем общее решение:

$y = (C_1 + C_2 x) e^x$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = (C_1 + C_2 x) e^x$.

2) Для уравнения $9y'' - 12y' + 4y = 0$ составим характеристическое уравнение:

$9k^2 - 12k + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(3k - 2)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = \frac{2}{3}$ кратности 2. Общее решение имеет вид:

$y = (C_1 + C_2 x) e^{\frac{2}{3}x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = (C_1 + C_2 x) e^{\frac{2}{3}x}$.

3) Для уравнения $4y'' + 4y' + y = 0$ составим характеристическое уравнение:

$4k^2 + 4k + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(2k + 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = -\frac{1}{2}$ кратности 2. Общее решение имеет вид:

$y = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{1}{2}x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{1}{2}x}$.

4) Для уравнения $y'' + 8y' + 16y = 0$ составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 8k + 16 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(k + 4)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = -4$ кратности 2. Общее решение имеет вид:

$y = (C_1 + C_2 x) e^{-4x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = (C_1 + C_2 x) e^{-4x}$.

5) Для уравнения $9y'' - 6y' + y = 0$ составим характеристическое уравнение:

$9k^2 - 6k + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(3k - 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = \frac{1}{3}$ кратности 2. Общее решение имеет вид:

$y = (C_1 + C_2 x) e^{\frac{1}{3}x}$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = (C_1 + C_2 x) e^{\frac{1}{3}x}$.

6) Уравнение $y'' + 10y' + 25x = 0$ является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Перепишем его в стандартном виде:

$y'' + 10y' = -25x$

Общее решение $\text{y}$ такого уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения $y_h$ и частного решения неоднородного уравнения $y_p$, то есть $y = y_h + y_p$.

1. Найдём общее решение однородного уравнения $y'' + 10y' = 0$. Характеристическое уравнение имеет вид:

$k^2 + 10k = 0 \implies k(k + 10) = 0$

Корни этого уравнения: $k_1 = 0$ и $k_2 = -10$. Так как корни действительные и различные, общее решение однородного уравнения:

$y_h = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{-10x} = C_1 + C_2 e^{-10x}$

2. Найдём частное решение $y_p$ неоднородного уравнения. Правая часть $f(x) = -25x$ является многочленом первой степени. Частное решение ищем в виде $y_p = x^s(Ax + B)$. Так как число $\text{0}$ является корнем характеристического уравнения кратности $s=1$, частное решение ищем в виде:

$y_p = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx$

Находим производные:

$y_p' = 2Ax + B$

$y_p'' = 2A$

Подставляем производные в уравнение $y'' + 10y' = -25x$:

$2A + 10(2Ax + B) = -25x$

$20Ax + (2A + 10B) = -25x$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $\text{x}$ слева и справа:

Для $x^1$: $20A = -25 \implies A = -\frac{25}{20} = -\frac{5}{4}$.

Для $x^0$: $2A + 10B = 0 \implies 10B = -2A = -2(-\frac{5}{4}) = \frac{5}{2} \implies B = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, частное решение:

$y_p = -\frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{4}x$

3. Общее решение неоднородного уравнения $y = y_h + y_p$:

$y = C_1 + C_2 e^{-10x} - \frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{4}x$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1 + C_2 e^{-10x} - \frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{4}x$.