Номер 8.40, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.40. Напишите характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения и найдите его корни:

1) $y'' + 3y' + 2y = 0;$

3) $2y'' + y' - y = 0;$

5) $y'' - 4y = 0;$

2) $6y'' + 5y' + y = 0;$

4) $y'' + y' - 5y = 0;$

6) $y'' - 3y' = 0.$

1) Для дифференциального уравнения $y'' + 3y' + 2y = 0$ соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: $k^2 + 3k + 2 = 0$. Для нахождения корней решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Корни уравнения: $k_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = -2$ и $k_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = -1$.

Ответ: Характеристическое уравнение $k^2 + 3k + 2 = 0$, его корни $k_1 = -2, k_2 = -1$.

2) Для дифференциального уравнения $6y'' + 5y' + y = 0$ соответствующее характеристическое уравнение: $6k^2 + 5k + 1 = 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни уравнения: $k_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ и $k_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: Характеристическое уравнение $6k^2 + 5k + 1 = 0$, его корни $k_1 = -1/2, k_2 = -1/3$.

3) Для дифференциального уравнения $2y'' + y' - y = 0$ соответствующее характеристическое уравнение: $2k^2 + k - 1 = 0$. Найдем корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. Корни уравнения: $k_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$ и $k_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Характеристическое уравнение $2k^2 + k - 1 = 0$, его корни $k_1 = -1, k_2 = 1/2$.

4) Для дифференциального уравнения $y'' + y' - 5y = 0$ соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 + k - 5 = 0$. Найдем корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$. Корни уравнения: $k_1 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ и $k_2 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: Характеристическое уравнение $k^2 + k - 5 = 0$, его корни $k_1 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, k_2 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

5) Для дифференциального уравнения $y'' - 4y = 0$ соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 - 4 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Из $k^2 = 4$ следует, что корни уравнения: $k_1 = -2$ и $k_2 = 2$.

Ответ: Характеристическое уравнение $k^2 - 4 = 0$, его корни $k_1 = -2, k_2 = 2$.

6) Для дифференциального уравнения $y'' - 3y' = 0$ соответствующее характеристическое уравнение: $k^2 - 3k = 0$. Вынесем $\text{k}$ за скобки: $k(k - 3) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Корни уравнения: $k_1 = 0$ и $k_2 = 3$.

Ответ: Характеристическое уравнение $k^2 - 3k = 0$, его корни $k_1 = 0, k_2 = 3$.