Номер 8.37, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

8.37. Парашютист весом 80 кг прыгнул с вертолета. При падении на расстоянии x м от вертолета его скорость равна v м/с. Силы, оказывающие влияние на парашютиста: сила тяжести и сопротивление воздуха, равное $kv^2$. Конечная скорость парашютиста равна 70 м/с. Докажите, что математической моделью движения парашютиста является дифференциальное уравнение $v \frac{dv}{dx} = 9.8 - 0.002v^2$.

Для доказательства составим уравнение движения парашютиста, основываясь на втором законе Ньютона. На парашютиста действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила сопротивления воздуха, направленная вверх. Положим, что направление вниз является положительным. Тогда результирующая сила $F_{net}$, действующая на парашютиста, равна разности силы тяжести $F_g$ и силы сопротивления воздуха $F_r$.

Согласно второму закону Ньютона: $F_{net} = ma$, где $\text{m}$ — масса парашютиста, а $\text{a}$ — его ускорение.

Таким образом, уравнение движения имеет вид:

$ma = F_g - F_r$

Сила тяжести вычисляется по формуле $F_g = mg$. В условии дано, что "вес" парашютиста равен 80 кг, что в контексте физических задач обычно означает массу. Итак, $m = 80$ кг. Ускорение свободного падения $\text{g}$ примем равным $9.8$ м/с², как это следует из вида искомого уравнения.

Сила сопротивления воздуха по условию равна $F_r = kv^2$, где $\text{k}$ — неизвестный коэффициент, а $\text{v}$ — скорость парашютиста.

Подставим выражения для сил в уравнение движения:

$ma = mg - kv^2$

Для нахождения коэффициента $\text{k}$ используем условие о конечной скорости. Конечная (или терминальная) скорость достигается, когда ускорение становится равным нулю ($a=0$), так как сила тяжести уравновешивается силой сопротивления воздуха. По условию, конечная скорость равна $v_{term} = 70$ м/с.

Подставив $a=0$ и $v=70$ в уравнение движения, получаем:

$m \cdot 0 = mg - k \cdot (v_{term})^2$

$0 = mg - k \cdot 70^2$

Отсюда выражаем $\text{k}$:

$k = \frac{mg}{70^2} = \frac{80 \cdot 9.8}{4900} = \frac{784}{4900} = 0.16$

Теперь, зная $\text{k}$, мы можем записать уравнение движения с конкретными значениями:

$80a = 80 \cdot 9.8 - 0.16v^2$

Чтобы получить выражение для ускорения $\text{a}$, разделим обе части уравнения на массу $m=80$:

$a = \frac{80 \cdot 9.8}{80} - \frac{0.16}{80}v^2$

$a = 9.8 - 0.002v^2$

Далее, нам нужно выразить ускорение $\text{a}$ через скорость $\text{v}$ и расстояние $\text{x}$. Ускорение по определению есть производная скорости по времени, $a = \frac{dv}{dt}$. Чтобы связать его с производной по расстоянию $\frac{dv}{dx}$, воспользуемся цепным правилом дифференцирования:

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$

Поскольку $\frac{dx}{dt}$ есть скорость $\text{v}$, получаем соотношение:

$a = v \frac{dv}{dx}$

Наконец, подставим это выражение для ускорения в уравнение, полученное ранее:

$v \frac{dv}{dx} = 9.8 - 0.002v^2$

Таким образом, мы доказали, что данное дифференциальное уравнение является математической моделью движения парашютиста в заданных условиях.

Ответ: Утверждение доказано путем составления уравнения движения на основе второго закона Ньютона и определения коэффициента сопротивления воздуха из условия о конечной скорости.