Номер 8.33, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

8.33. Вода вытекает из отверстия, расположенного в нижней части емкости. По мере уменьшения объема воды меняется высота воды в емкости. Математическая модель изменения высоты описывается дифференциальным уравнением $4 \frac{dh}{dt} = -\sqrt{20h}$, где $\text{t}$ – время (в минутах), $\text{h}$ – высота (в сантиметрах).

Найдите частное решение дифференциального уравнения, если известно, что начальная высота воды равна 81 см. Через сколько времени вода полностью вытечет из емкости? (Считается, что вода полностью вытекла, если ее высота равна 0,05 см).

Найдите частное решение дифференциального уравнения, если известно, что начальная высота воды равна 81 см.

Дано дифференциальное уравнение, описывающее изменение высоты воды $\text{h}$ (в см) со временем $\text{t}$ (в минутах):

$4\frac{dh}{dt} = -\sqrt{20h}$

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, перенеся все члены с $\text{h}$ в левую часть, а с $\text{t}$ - в правую:

$4 \, dh = -\sqrt{20h} \, dt$

$\frac{4}{\sqrt{20h}} \, dh = -dt$

Упростим выражение в левой части, учитывая, что $\sqrt{20h} = \sqrt{20}\sqrt{h} = \sqrt{4 \cdot 5}\sqrt{h} = 2\sqrt{5}\sqrt{h}$:

$\frac{4}{2\sqrt{5}\sqrt{h}} \, dh = -dt$

$\frac{2}{\sqrt{5}} h^{-1/2} \, dh = -dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{2}{\sqrt{5}} h^{-1/2} \, dh = \int -dt$

Вычисляем интегралы:

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{h^{1/2}}{1/2} = -t + C$

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 2\sqrt{h} = -t + C$

$\frac{4}{\sqrt{5}}\sqrt{h} = -t + C$

Это общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения используем начальное условие: при $t=0$, высота $h=81$ см. Подставим эти значения, чтобы найти константу $\text{C}$.

$\frac{4}{\sqrt{5}}\sqrt{81} = -0 + C$

$\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot 9 = C$

$C = \frac{36}{\sqrt{5}}$

Подставим найденное значение $\text{C}$ в общее решение:

$\frac{4}{\sqrt{5}}\sqrt{h} = -t + \frac{36}{\sqrt{5}}$

Для удобства дальнейших расчетов выразим $\text{h}$ как функцию от $\text{t}$:

$\sqrt{h} = \frac{\sqrt{5}}{4} \left( -t + \frac{36}{\sqrt{5}} \right)$

$\sqrt{h} = -\frac{\sqrt{5}}{4}t + 9$

$h(t) = \left(9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t\right)^2$

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения: $h(t) = \left(9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t\right)^2$.

Через сколько времени вода полностью вытечет из емкости? (Считается, что вода полностью вытекла, если ее высота равна 0,05 см).

Чтобы найти время, через которое вода вытечет, необходимо найти значение $\text{t}$, при котором высота $\text{h}$ станет равной 0,05 см. Воспользуемся найденным частным решением:

$h(t) = \left(9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t\right)^2$

Подставим $h=0,05$ в уравнение:

$0,05 = \left(9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как высота со временем уменьшается, выражение в скобках должно быть положительным.

$\sqrt{0,05} = 9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t$

Преобразуем $\sqrt{0,05}$:

$\sqrt{0,05} = \sqrt{\frac{5}{100}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{\sqrt{5}}{10} = 9 - \frac{\sqrt{5}}{4}t$

Теперь выразим $\text{t}$:

$\frac{\sqrt{5}}{4}t = 9 - \frac{\sqrt{5}}{10}$

$t = \frac{4}{\sqrt{5}} \left(9 - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)$

$t = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{5}} - \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{10}$

$t = \frac{36}{\sqrt{5}} - \frac{4}{10}$

Рационализируем первое слагаемое (умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$):

$t = \frac{36\sqrt{5}}{5} - 0,4$

$t = 7,2\sqrt{5} - 0,4$

Вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{5} \approx 2,236$:

$t \approx 7,2 \cdot 2,236 - 0,4$

$t \approx 16,1 - 0,4$

$t \approx 15,7$ минут.

Ответ: Вода полностью вытечет из емкости примерно через 15,7 минут.