Номер 8.26, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажем, что функция $T(t) = \alpha + Ae^{-kt}$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dT}{dt} = -k(T - \alpha)$.

Для этого необходимо подставить функцию $T(t)$ и ее производную $\frac{dT}{dt}$ в дифференциальное уравнение и убедиться в истинности получаемого равенства.

1. Найдем производную от функции $T(t)$ по времени $\text{t}$, что соответствует левой части уравнения (LHS):

LHS = $\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha + Ae^{-kt})$

Так как $\alpha$ и $\text{A}$ являются константами, производная от $\alpha$ равна нулю. Применяя правило дифференцирования экспоненциальной функции, получаем:

LHS = $A \cdot e^{-kt} \cdot (-k) = -kAe^{-kt}$

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения (RHS) и подставим в нее выражение для $T(t)$:

RHS = $-k(T - \alpha)$

RHS = $-k((\alpha + Ae^{-kt}) - \alpha)$

Упрощая выражение в скобках, имеем:

RHS = $-k(Ae^{-kt}) = -kAe^{-kt}$

3. Сравнивая левую и правую части, видим, что они равны:

LHS = RHS

$-kAe^{-kt} = -kAe^{-kt}$

Поскольку мы получили тождество, это доказывает, что функция $T(t) = \alpha + Ae^{-kt}$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ: Подстановка функции и ее производной в дифференциальное уравнение приводит к верному тождеству, следовательно, функция является его решением.

Напишем закон Ньютона, описывающий процесс остывания чая, и найдем значения $\alpha$ и $\text{A}$.

По условию, чашку чая с начальной температурой $90^\circ$ C принесли в комнату с температурой $25^\circ$ C.

1. Закон Ньютона.

Общий вид закона охлаждения Ньютона: $\frac{dT}{dt} = -k(T - \alpha)$, где $\text{T}$ — температура тела, $\text{t}$ — время, $\alpha$ — температура окружающей среды, $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

В данном случае температура окружающей среды (комнаты) $\alpha = 25^\circ$ C. Подставив это значение, получаем закон, описывающий остывание чая:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 25)$

2. Нахождение значений $\alpha$ и $\text{A}$.

Параметр $\alpha$ — это температура окружающей среды, к которой стремится температура объекта. Из условия задачи:

$\alpha = 25$

Параметр A находится из начальных условий. Мы знаем, что в начальный момент времени ($t=0$) температура чая составляла $T(0) = 90^\circ$ C. Используем общее решение, которое мы доказали в первой части: $T(t) = \alpha + Ae^{-kt}$.

Подставим $t=0$, $T(0)=90$ и $\alpha=25$ в это уравнение:

$T(0) = \alpha + Ae^{-k \cdot 0}$

$90 = 25 + Ae^0$

Поскольку $e^0 = 1$, получаем:

$90 = 25 + A$

Выражаем A:

$A = 90 - 25 = 65$

Ответ: Закон Ньютона для данного процесса: $\frac{dT}{dt} = -k(T - 25)$. Найденные значения констант: $\alpha = 25$ и $A = 65$.