Номер 8.25, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.25. Температура в комнате равна $20^\circ \text{C}$. Температура чая понизилась от $100^\circ \text{C}$ до $90^\circ \text{C}$ в течение $5 \text{ мин}$. Через какое время чай остынет до $50^\circ \text{C}$?

Процесс остывания тела, такого как чай в чашке, в среде с постоянной температурой описывается законом Ньютона-Рихмана. Согласно этому закону, скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением:

$ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{okp}) $

где $T(t)$ – температура чая в момент времени $\text{t}$, $T_{okp}$ – температура окружающей среды (в данном случае, комнаты), а $\text{k}$ – положительный коэффициент остывания, зависящий от свойств жидкости и сосуда.

Решением этого уравнения является функция: $ T(t) = T_{okp} + (T_0 - T_{okp})e^{-kt} $ где $T_0$ – начальная температура тела при $t=0$.

Используем данные из условия задачи: Температура в комнате $T_{okp} = 20^{\circ}C$. Начальная температура чая $T_0 = 100^{\circ}C$. Подставив эти значения, получаем уравнение для температуры чая в любой момент времени $\text{t}$ (в минутах): $ T(t) = 20 + (100 - 20)e^{-kt} = 20 + 80e^{-kt} $

Нам известно, что за время $t_1 = 5$ минут температура чая понизилась до $T_1 = 90^{\circ}C$. Используем это для нахождения коэффициента $\text{k}$: $ 90 = 20 + 80e^{-k \cdot 5} $ $ 70 = 80e^{-5k} $ $ e^{-5k} = \frac{70}{80} = \frac{7}{8} $ Чтобы найти $\text{k}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения: $ \ln(e^{-5k}) = \ln(\frac{7}{8}) $ $ -5k = \ln(\frac{7}{8}) $ $ k = -\frac{1}{5}\ln(\frac{7}{8}) = \frac{1}{5}\ln(\frac{8}{7}) $

Теперь нам нужно найти время $t_2$, через которое температура чая достигнет $50^{\circ}C$ (время отсчитывается от начального момента, когда температура была $100^{\circ}C$). Подставим $T(t_2) = 50^{\circ}C$ в наше основное уравнение: $ 50 = 20 + 80e^{-kt_2} $ $ 30 = 80e^{-kt_2} $ $ e^{-kt_2} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8} $ Снова логарифмируем: $ \ln(e^{-kt_2}) = \ln(\frac{3}{8}) $ $ -kt_2 = \ln(\frac{3}{8}) $ $ t_2 = -\frac{1}{k}\ln(\frac{3}{8}) = \frac{1}{k}\ln(\frac{8}{3}) $

Подставим ранее найденное выражение для $\text{k}$: $ t_2 = \frac{\ln(\frac{8}{3})}{\frac{1}{5}\ln(\frac{8}{7})} = 5 \cdot \frac{\ln(\frac{8}{3})}{\ln(\frac{8}{7})} $

Выполним вычисления: $ t_2 \approx 5 \cdot \frac{\ln(2.666...)}{\ln(1.142...)} \approx 5 \cdot \frac{0.980829}{0.133531} \approx 5 \cdot 7.34536 \approx 36.7268 $ минут. Округляя результат, получаем искомое время.

Ответ: примерно 36.7 минут.