Номер 8.19, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.19. Составьте дифференциальное уравнение свободного падения тела в среде с сопротивлением, если сила сопротивления среды прямо пропорциональна квадрату скорости.

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся вторым законом Ньютона, согласно которому произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих на него сил.

Пусть $\text{m}$ – масса тела, $v(t)$ – его скорость в момент времени $\text{t}$. Направим ось координат $Oy$ вертикально вниз, по направлению движения тела.

На тело действуют две силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз. Ее величина постоянна и равна $F_g = mg$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Поскольку направление силы совпадает с направлением оси $Oy$, ее проекция на эту ось положительна: $F_{g,y} = mg$.

2. Сила сопротивления среды $F_r$, которая всегда направлена против движения. Так как тело падает вниз, сила сопротивления направлена вверх. По условию задачи, ее величина прямо пропорциональна квадрату скорости: $F_r = k v^2$, где $\text{k}$ – положительный коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела и свойств среды. Поскольку эта сила направлена против оси $Oy$, ее проекция на эту ось отрицательна: $F_{r,y} = -k v^2$.

Ускорение тела $\text{a}$ является первой производной от скорости по времени: $a = \frac{dv}{dt}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Oy$:

$ma = F_{g,y} + F_{r,y}$

Подставим выражения для сил и ускорения:

$m \frac{dv}{dt} = mg - k v^2$

Это и есть искомое дифференциальное уравнение, описывающее изменение скорости тела при свободном падении в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости.

Ответ: $m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2$.