Номер 8.16, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.16. Докажите, что касательные, проведенные к интегральным кривым уравнения $y' + xy = 1$ в точках их пересечения с осью $\text{Oy}$, параллельны друг другу.

Для доказательства утверждения найдем угловой коэффициент касательных к интегральным кривым в точках их пересечения с осью $Oy$. Интегральные кривые — это графики решений $y(x)$ дифференциального уравнения. Угловой коэффициент касательной $\text{k}$ к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке.

Дано дифференциальное уравнение: $y' + xy = 1$.

Выразим из него производную $y'$, которая определяет угловой коэффициент касательной: $k = y' = 1 - xy$.

Точки пересечения интегральных кривых с осью $Oy$ — это точки, у которых абсцисса $x=0$. Обозначим такую точку как $(0, y_0)$, где $y_0 = y(0)$ — это значение, которое принимает конкретное решение (интегральная кривая) при $x=0$. Для разных интегральных кривых семейства решений данного уравнения значение $y_0$ будет, в общем случае, разным.

Теперь найдем угловой коэффициент касательной в произвольной точке пересечения с осью $Oy$, то есть в точке с координатами $(0, y_0)$. Для этого подставим $x=0$ в выражение для $y'$: $k = y'|_{x=0} = 1 - (0) \cdot y_0 = 1$.

Как видно из результата, угловой коэффициент касательной в любой точке пересечения интегральной кривой с осью $Oy$ является постоянной величиной и равен $\text{1}$. Он не зависит от конкретной кривой, то есть от значения $y_0$.

Поскольку все касательные, проведенные в указанных точках, имеют один и тот же угловой коэффициент ($k=1$), они параллельны друг другу. Что и требовалось доказать.

Ответ: Угловой коэффициент касательной $\text{k}$ к интегральной кривой уравнения $y' + xy = 1$ в точке $(x, y)$ определяется выражением $k = y' = 1 - xy$. В точках пересечения с осью $Oy$ абсцисса $x=0$. Подставляя это значение, получаем $k = 1 - 0 \cdot y = 1$. Так как угловой коэффициент во всех точках пересечения с осью $Oy$ является постоянной величиной, равной 1, все касательные в этих точках параллельны друг другу.