Номер 8.13, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.13. Постройте графики семейства парабол $y = Cx^2$ при $C = 0, C = \pm 1, C = \pm 2$. Составьте дифференциальное уравнение, общим решением которого является данное семейство функций.

Построение графиков семейства парабол y = Cx²

Для построения графиков рассмотрим заданные значения параметра $\text{C}$ в уравнении семейства парабол $y = Cx^2$.

• При $C = 0$ уравнение принимает вид $y = 0 \cdot x^2 = 0$. Графиком является прямая линия, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).
• При $C = 1$ уравнение становится $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат $(0,0)$, а ветви направлены вверх.
• При $C = -1$ уравнение становится $y = -x^2$. Это парабола, также с вершиной в начале координат, но её ветви направлены вниз. Она симметрична параболе $y=x^2$ относительно оси Ox.
• При $C = 2$ уравнение $y = 2x^2$. Это парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. По сравнению с $y=x^2$, эта парабола является более "узкой" (или "вытянутой" вдоль оси Oy), так как при том же значении $\text{x}$ значение $\text{y}$ в два раза больше.
• При $C = -2$ уравнение $y = -2x^2$. Это парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вниз, симметричная графику $y=2x^2$ относительно оси Ox. Она также является "узкой".

Все графики проходят через начало координат $(0,0)$. Параметр $\text{C}$ определяет как направление ветвей параболы (положительное значение $\text{C}$ — вверх, отрицательное — вниз), так и степень её "сжатия" к оси Oy (чем больше абсолютное значение $|C|$, тем "уже" парабола).

Ответ: Графики представляют собой семейство парабол с общей вершиной в точке (0,0). При $C>0$ ветви направлены вверх, при $C<0$ – вниз. При $C=0$ график вырождается в прямую $y=0$ (ось Ox). С увеличением $|C|$ параболы становятся более "узкими" (сильнее прижимаются к оси Oy).

Составление дифференциального уравнения

Чтобы найти дифференциальное уравнение, общим решением которого является семейство функций $y = Cx^2$, необходимо исключить параметр $\text{C}$ из этого уравнения с помощью дифференцирования.

1. Возьмем производную от обеих частей уравнения $y = Cx^2$ по переменной $\text{x}$:

$y' = \frac{d}{dx}(Cx^2) = C \cdot (2x) = 2Cx$.

2. Мы получили систему из двух уравнений:

(1) $y = Cx^2$

(2) $y' = 2Cx$

3. Выразим константу $\text{C}$ из уравнения (1). Если $x \neq 0$, то $C = \frac{y}{x^2}$.

4. Подставим полученное выражение для $\text{C}$ в уравнение (2):

$y' = 2 \left(\frac{y}{x^2}\right) x$

5. Упростим это выражение:

$y' = \frac{2y}{x}$

Переписав это уравнение, получим искомое дифференциальное уравнение:

$xy' = 2y$

или в стандартной форме:

$xy' - 2y = 0$.

Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно справедливо и для случая $x=0$, так как для любой функции семейства $y(0)=0$ и $y'(0)=0$, и равенство $0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$ выполняется.

Ответ: $xy' - 2y = 0$.