Номер 8.7, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.7. Какая из следующих функций является решением уравнения $\frac{dy}{dx} = -8y:$

A. $y = 4e^{-8x}$

B. $y = 8e^{-4x}$

C. $y = 4e^{-8x} + 2$}

D. $y = 4e^{-8x} + 8$

E. $y = 8e^{-8x}$?

Чтобы определить, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = -8y$, необходимо для каждой функции найти её производную $\frac{dy}{dx}$ и подставить саму функцию и её производную в уравнение. Если в результате получится верное равенство, то функция является решением.

A. $y = 4e^{-8x}$

1. Найдем производную функции $\text{y}$ по $\text{x}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4e^{-8x})$

Используя правило дифференцирования произведения и сложной функции, получаем:

$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot e^{-8x} \cdot \frac{d}{dx}(-8x) = 4e^{-8x} \cdot (-8) = -32e^{-8x}$

2. Теперь подставим $y = 4e^{-8x}$ в правую часть исходного уравнения:

$-8y = -8 \cdot (4e^{-8x}) = -32e^{-8x}$

3. Сравним левую и правую части. Так как $\frac{dy}{dx} = -32e^{-8x}$ и $-8y = -32e^{-8x}$, то $\frac{dy}{dx} = -8y$.

Следовательно, данная функция является решением уравнения.

Ответ: Является решением.

B. $y = 8e^{-4x}$

1. Найдем производную:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(8e^{-4x}) = 8e^{-4x} \cdot (-4) = -32e^{-4x}$

2. Подставим $\text{y}$ в правую часть уравнения:

$-8y = -8 \cdot (8e^{-4x}) = -64e^{-4x}$

3. Сравниваем: $-32e^{-4x} \neq -64e^{-4x}$.

Функция не является решением.

Ответ: Не является решением.

C. $y = 4e^{-8x} + 2$

1. Найдем производную:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4e^{-8x} + 2) = 4e^{-8x} \cdot (-8) + 0 = -32e^{-8x}$

2. Подставим $\text{y}$ в правую часть уравнения:

$-8y = -8 \cdot (4e^{-8x} + 2) = -32e^{-8x} - 16$

3. Сравниваем: $-32e^{-8x} \neq -32e^{-8x} - 16$.

Функция не является решением.

Ответ: Не является решением.

D. $y = 4e^{-8x} + 8$

1. Найдем производную:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4e^{-8x} + 8) = 4e^{-8x} \cdot (-8) + 0 = -32e^{-8x}$

2. Подставим $\text{y}$ в правую часть уравнения:

$-8y = -8 \cdot (4e^{-8x} + 8) = -32e^{-8x} - 64$

3. Сравниваем: $-32e^{-8x} \neq -32e^{-8x} - 64$.

Функция не является решением.

Ответ: Не является решением.

E. $y = 8e^{-8x}$

1. Найдем производную:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(8e^{-8x}) = 8e^{-8x} \cdot (-8) = -64e^{-8x}$

2. Подставим $\text{y}$ в правую часть уравнения:

$-8y = -8 \cdot (8e^{-8x}) = -64e^{-8x}$

3. Сравниваем: $\frac{dy}{dx} = -64e^{-8x}$ и $-8y = -64e^{-8x}$, то есть $\frac{dy}{dx} = -8y$.

Следовательно, данная функция также является решением уравнения.

Ответ: Является решением.

Анализ показал, что две функции, A и E, являются решениями данного дифференциального уравнения. Общее решение уравнения $\frac{dy}{dx} = -8y$ имеет вид $y = Ce^{-8x}$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная. Вариант A соответствует случаю $C=4$, а вариант E — случаю $C=8$. В вопросе с выбором единственного ответа наличие двух правильных вариантов, скорее всего, является опечаткой.