Номер 8.8, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.8. Математическая модель изменения температуры тела $\text{T}$ описывается дифференциальным уравнением $\frac{dT}{dt} = 2 - 0,1T$. Покажите, что функция $T = 20 + 60e^{-0,1t}$ является решением дифференциального уравнения.

Для того чтобы доказать, что функция $T = 20 + 60e^{-0,1t}$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dT}{dt} = 2 - 0,1T$, необходимо найти производную функции $\text{T}$ по переменной $\text{t}$ и подставить её и саму функцию в данное уравнение, после чего проверить, выполняется ли равенство.

1. Находим производную $\frac{dT}{dt}$.

Дана функция $T(t) = 20 + 60e^{-0,1t}$.

Дифференцируем ее по $\text{t}$, используя правило дифференцирования сложной функции $(e^{ku})' = ku'e^{ku}$ и то, что производная константы равна нулю:

$\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dt}(20 + 60e^{-0,1t}) = 0 + 60 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-0,1t}) = 60 \cdot (e^{-0,1t} \cdot (-0,1))$

$\frac{dT}{dt} = -6e^{-0,1t}$

Это выражение для левой части дифференциального уравнения.

2. Подставляем функцию $\text{T}$ в правую часть уравнения.

Правая часть уравнения имеет вид $2 - 0,1T$.

Подставим в нее выражение для $\text{T}$: $2 - 0,1 \cdot (20 + 60e^{-0,1t})$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$2 - 0,1 \cdot 20 - 0,1 \cdot 60e^{-0,1t} = 2 - 2 - 6e^{-0,1t} = -6e^{-0,1t}$

3. Сравниваем левую и правую части.

Левая часть: $\frac{dT}{dt} = -6e^{-0,1t}$

Правая часть: $2 - 0,1T = -6e^{-0,1t}$

Так как левая и правая части уравнения равны ($-6e^{-0,1t} = -6e^{-0,1t}$), мы получаем верное тождество. Это доказывает, что предложенная функция является решением дифференциального уравнения.

Ответ: Подстановка функции $T = 20 + 60e^{-0,1t}$ и её производной $\frac{dT}{dt} = -6e^{-0,1t}$ в дифференциальное уравнение $\frac{dT}{dt} = 2 - 0,1T$ приводит к верному тождеству $-6e^{-0,1t} = -6e^{-0,1t}$, следовательно, данная функция является решением уравнения.