Номер 8.3, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.3. Докажите, что функция $v = 20e^{-2t} + 5$ является частным решением дифференциального уравнения $\frac{dv}{dt} = 10 - 2v$.

8.3. Чтобы доказать, что функция $v = 20e^{-2t} + 5$ является частным решением дифференциального уравнения $\frac{dv}{dt} = 10 - 2v$, нужно подставить функцию и ее производную в это уравнение и убедиться в верности получаемого тождества.

1. Найдем производную функции $\text{v}$ по переменной $\text{t}$. Это будет левая часть (ЛЧ) дифференциального уравнения.

ЛЧ = $\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(20e^{-2t} + 5)$

Применяя правило дифференцирования сложной функции для $e^{-2t}$ и зная, что производная константы равна нулю, получаем:

$\frac{dv}{dt} = 20 \cdot e^{-2t} \cdot (-2) + 0 = -40e^{-2t}$

2. Теперь вычислим правую часть (ПЧ) дифференциального уравнения, подставив в нее выражение для $\text{v}$.

ПЧ = $10 - 2v = 10 - 2(20e^{-2t} + 5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$10 - 2 \cdot 20e^{-2t} - 2 \cdot 5 = 10 - 40e^{-2t} - 10 = -40e^{-2t}$

3. Сравним левую и правую части.

ЛЧ = $\frac{dv}{dt} = -40e^{-2t}$

ПЧ = $10 - 2v = -40e^{-2t}$

Поскольку ЛЧ = ПЧ, тождество $-40e^{-2t} = -40e^{-2t}$ верно для любого значения $\text{t}$.

Ответ: Так как при подстановке функции $v = 20e^{-2t} + 5$ в дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dt} = 10 - 2v$ получается верное тождество, то данная функция является его частным решением, что и требовалось доказать.