Номер 7.124, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.124. Упростите выражение:

1) $\left(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}\right) \div \frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}}{a - b};$

2) $\left(a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot$

1)

Упростим по частям выражение $(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}) \div \frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}}{a - b}$.

Сначала преобразуем выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю:

$\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a + \sqrt{ab}) - ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + ab - ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a + \sqrt{ab}}$

В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{a}$:

$a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Тогда первое выражение примет вид:

$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a^2}\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Теперь упростим делитель $\frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}}{a - b}$.

Преобразуем числитель: $\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b} = \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b} - (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt[4]{b}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов: $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Далее, $\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.

Таким образом, $a - b = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Делитель примет вид:

$\frac{\sqrt[4]{b}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})}{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Теперь выполним деление:

$\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \div \frac{\sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{b}}$

Сократим $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$:

$a\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}} = a \cdot \frac{b^{1/2}}{b^{1/4}} \cdot (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = a \cdot b^{1/4} \cdot (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

Раскроем скобки:

$a\sqrt[4]{b}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = a(\sqrt[4]{ab} + \sqrt[4]{b^2}) = a(\sqrt[4]{ab} + \sqrt{b})$

Ответ: $a(\sqrt[4]{ab} + \sqrt{b})$.

2)

Предположим, что в условии допущена опечатка, и вместо $\sqrt[3]{a}$ должно быть $\sqrt{a}$. Тогда выражение принимает вид:

$(a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a})^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}})^{-\frac{2}{3}}$

Запишем выражение в виде $(\frac{A}{B})^{\frac{2}{3}}$, где $\text{A}$ и $\text{B}$ — основания степеней.

Упростим первое основание $A = a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a} = a + \frac{b^{3/2}}{a^{1/2}}$:

$A = \frac{a \cdot a^{1/2} + b^{3/2}}{a^{1/2}} = \frac{a^{3/2} + b^{3/2}}{a^{1/2}}$

Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ для числителя, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$:

$a^{3/2} + b^{3/2} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$

Таким образом, $A = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}}$.

Теперь упростим второе основание $B = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$:

Приведем к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$B = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b + \sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab}} = \frac{a - \sqrt{ab} + b}{a - \sqrt{ab}}$

Найдем отношение $\frac{A}{B}$:

$\frac{A}{B} = \frac{\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}}}{\frac{a - \sqrt{ab} + b}{a - \sqrt{ab}}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}} \cdot \frac{a - \sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab} + b}$

Сократим $(a - \sqrt{ab} + b)$:

$\frac{A}{B} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab})}{\sqrt{a}}$

Вынесем $\sqrt{a}$ за скобки в выражении $(a - \sqrt{ab})$:

$\frac{A}{B} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}}$

Сократим $\sqrt{a}$ и применим формулу разности квадратов:

$\frac{A}{B} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$

Подставим полученное отношение в исходное выражение:

$(\frac{A}{B})^{\frac{2}{3}} = (a - b)^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $(a - b)^{\frac{2}{3}}$.