Работа в группе, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Назовите порядок дифференциальных уравнений из примеров 1-4.

Пример 1. (Численность населения.)

Демографические исследования показали, что скорость прироста населения прямо пропорциональна его количеству. Пусть в момент времени $\text{t}$ численность населения равна $N(t)$. Тогда скорость прироста за время $\text{t}$ равна производной $N'(t)$. Следовательно, учитывая упомянутую пропорциональную зависимость, получим уравнение

$$N'(t)=k \cdot N(t).$$

Здесь $\text{k}$ – постоянная величина, характеризующая скорость прироста населения. Данное уравнение запишем в виде

$$\frac{N'(t)}{N(t)} = k$$

и, проинтегрировав обе части уравнения, получим

$$\int \frac{N'(t)}{N(t)} dt = \int kdt \Rightarrow N'(t) = \frac{dN(t)}{dt} \Rightarrow \int \frac{dN(t)}{N(t)} = kt+C \Rightarrow \ln N(t)=kt+C \Rightarrow N(t) = Ce^{kt}.$$

Здесь мы обозначили $e^C = C$. Мы пришли к выводу, что все решения дифференциального уравнения $N'(t) = k \cdot N(t)$ записываются в виде $N(t) = Ce^{kt}$. Полученной формулой определяется закон роста численности населения.

Пример 2. (Радиоактивный распад.)

Экспериментальные исследования показали, что скорость распада радиоактивного вещества прямо пропорциональна его начальному количеству. Знание этой закономерности позволяет решать большое количество задач о радиоактивном распаде. Пусть $m(t)$ – количество радиоактивного вещества (в граммах) в момент времени $\text{t}$. Тогда выполняется равенство

$$m'(t)=-\lambda m(t),$$

где $\lambda > 0$ – коэффициент пропорциональности, знак «-» указывает на уменьшение количества радиоактивного вещества с течением времени. Следовательно, производная $m'(t)$ должна быть отрицательной. Решив уравнение, как показано в примере 1, получим, что радиоактивный распад определяется функцией

$$m(t) = Ce^{-\lambda t}.$$

Если в начальный момент времени ($t=0$) количество радиоактивного вещества равно $m_0$ г, то получим

$$m(t) = m_0 e^{-\lambda t},$$

($m_0 = m(0) = Ce^{-\lambda \cdot 0} = C$).

Пример 3.

Пусть материальное тело массой $\text{m}$ движется прямолинейно под действием силы $\text{F}$. Предположим, что сила $\text{F}$ совпадает с направлением движения тела. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела в момент времени $\text{t}$ равно отношению действующей силы $\text{F}$ к массе тела $\text{m}$: $a = \frac{F}{m}$. Нам известен механический смысл второй производной: вторая производная функции $S(t)$ равна ускорению в момент времени $\text{t}$. Следовательно, получаем дифференциальное уравнение

$$m \cdot S''(t) = F(t).$$

Пример 4.

Составим дифференциальное уравнение кривой, для которой отрезки касательных, заключенных между осями координат, имеют постоянную длину, равную $\text{a}$.

Пример 1.

Дифференциальное уравнение, описывающее численность населения, имеет вид $N'(t) = k \cdot N(t)$. Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, входящей в него. В данном уравнении наивысшая производная — это $N'(t)$, то есть первая производная. Следовательно, это дифференциальное уравнение первого порядка.

Ответ: 1.

Пример 2.

Дифференциальное уравнение, описывающее радиоактивный распад, дано в виде $m'(t) = -\lambda m(t)$. Как и в предыдущем примере, наивысшая производная в этом уравнении — это $m'(t)$ (первая производная). Таким образом, это дифференциальное уравнение первого порядка.

Ответ: 1.

Пример 3.

Дифференциальное уравнение движения материального тела, основанное на втором законе Ньютона, имеет вид $m \cdot S''(t) = F(t)$. В этом уравнении присутствует вторая производная функции $S(t)$, которая обозначается как $S''(t)$. Так как это наивысший порядок производной в уравнении, то данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка.

Ответ: 2.

Пример 4.

В этом примере рассматривается кривая, у которой длина отрезка касательной, заключенного между осями координат, постоянна и равна $\text{a}$. Хотя само уравнение в тексте примера не приведено, его можно вывести. Если уравнение кривой $y = y(x)$, то соответствующее дифференциальное уравнение (уравнение трактрисы) может быть записано в виде $|y| \sqrt{1+(y')^2} = a|y'|$. В этом уравнении наивысшая производная — это первая производная $y'$. Следовательно, это дифференциальное уравнение первого порядка.

Ответ: 1.