Номер 7.120, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.120. Найдите все целые решения неравенства

$\log_{0.3} (\sqrt{x+5}-x+1)>0$.

Исходное неравенство:

$\log_{0.3}(\sqrt{x+5} - x + 1) > 0$

Поскольку основание логарифма $0.3$ меньше $\text{1}$ ($0 < 0.3 < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что для выполнения неравенства, аргумент логарифма должен быть больше $\text{0}$ и меньше $\text{1}$. Таким образом, данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x+5} - x + 1 > 0 \\ \sqrt{x+5} - x + 1 < 0.3^0 \end{cases}$

Так как $0.3^0 = 1$, система принимает вид:

$\begin{cases} \sqrt{x+5} - x + 1 > 0 \\ \sqrt{x+5} - x + 1 < 1 \end{cases}$

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$\sqrt{x+5} - x + 1 > 0 \implies \sqrt{x+5} > x - 1$

Рассмотрим два случая:

а) Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. В этом случае правая часть неравенства отрицательна, а левая (квадратный корень) — неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $\text{x}$ из этого промежутка, для которых левая часть определена, то есть при $x \ge -5$. Пересекая условия $x < 1$ и $x \ge -5$, получаем решение для этого случая: $x \in [-5, 1)$.

б) Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$x+5 > (x-1)^2$

$x+5 > x^2 - 2x + 1$

$0 > x^2 - 3x - 4$

$x^2 - 3x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 4)$. Учитывая условие этого случая $x \ge 1$, получаем решение: $x \in [1, 4)$.

Объединяя решения из случаев а) и б), получаем общее решение первого неравенства: $x \in [-5, 1) \cup [1, 4) = [-5, 4)$.

2. Решение второго неравенства:

$\sqrt{x+5} - x + 1 < 1 \implies \sqrt{x+5} < x$

Для того чтобы это неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной, так как левая часть по определению неотрицательна. Следовательно, $x > 0$. При этом условии мы можем возвести обе части в квадрат:

$x+5 < x^2$

$x^2 - x - 5 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 1 + 20 = 21$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Ветви параболы $y = x^2 - x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$.

Учитывая условие $x > 0$ и то, что $\frac{1 - \sqrt{21}}{2} < 0$, получаем решение второго неравенства: $x \in (\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$.

3. Нахождение общего решения:

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть пересечение множеств $x \in [-5, 4)$ и $x \in (\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$.

Оценим значение $\frac{1 + \sqrt{21}}{2}$. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, поэтому $4 < \sqrt{21} < 5$.

Следовательно, $1+4 < 1+\sqrt{21} < 1+5$, что дает $5 < 1+\sqrt{21} < 6$.

Разделив на 2, получаем: $\frac{5}{2} < \frac{1+\sqrt{21}}{2} < \frac{6}{2}$, или $2.5 < \frac{1+\sqrt{21}}{2} < 3$.

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал $x \in (\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, 4)$.

4. Поиск целых решений:

Нам нужно найти все целые числа, которые принадлежат интервалу $(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, 4)$. Так как $2.5 < \frac{1+\sqrt{21}}{2} < 3$, то единственное целое число в этом интервале — это $\text{3}$.

Ответ: $\text{3}$