Номер 7.114, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.114. Решите неравенство:

1) $\log_x (x - 1) \ge 2$;

2) $\log_x \sqrt{21 - 4x} > 1$;

3) $\log_x \frac{x+3}{x-1} > 1$;

4) $\log_x (16 - 6x - x^2) \le 1$.

1) $\log_x(x-1) \ge 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно единице.

1) $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

2) $x > 0$ и $x \ne 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

Поскольку из ОДЗ следует, что основание $x > 1$, логарифмическая функция $y = \log_x(t)$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

$x - 1 \ge x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x + 1 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее корни, решив уравнение $x^2 - x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, а старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$ принимает только положительные значения при любых действительных $\text{x}$.

Следовательно, неравенство $x^2 - x + 1 \le 0$ не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$

2) $\log_x \sqrt{21-4x} > 1$

Найдем ОДЗ:

1) Аргумент логарифма: $\sqrt{21-4x} > 0$. Это выполняется, когда подкоренное выражение строго больше нуля: $21 - 4x > 0 \Rightarrow 4x < 21 \Rightarrow x < 5.25$.

2) Основание логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5.25)$.

Решение неравенства с переменным основанием требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$\sqrt{21-4x} < x^1$

Так как в этом случае $x > 0$, обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат:

$21 - 4x < x^2$

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $x^2 + 4x - 21 > 0$ является $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием случая $0 < x < 1$:

$((-\infty, -7) \cup (3, \infty)) \cap (0, 1) = \emptyset$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: Основание $x > 1$.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется.

$\sqrt{21-4x} > x$

Возводим в квадрат обе части (они обе положительны, т.к. $x>1$):

$21 - 4x > x^2$

$x^2 + 4x - 21 < 0$

Корни те же: $x_1 = -7, x_2 = 3$. Решением этого неравенства является $x \in (-7, 3)$.

Найдем пересечение этого решения с условиями случая ( $x > 1$ ) и ОДЗ ( $x < 5.25$ ):

$(-7, 3) \cap (1, 5.25) = (1, 3)$.

Объединяя решения из обоих случаев (в первом случае решений нет), получаем итоговый ответ.

Ответ: $(1, 3)$

3) $\log_x \frac{x+3}{x-1} > 1$

Найдем ОДЗ:

1) Аргумент логарифма: $\frac{x+3}{x-1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

2) Основание логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

Так как ОДЗ определяет, что основание $x > 1$, мы рассматриваем только один случай. Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$\frac{x+3}{x-1} > x^1$

$\frac{x+3}{x-1} - x > 0$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{x+3 - x(x-1)}{x-1} > 0$

$\frac{x+3 - x^2 + x}{x-1} > 0$

$\frac{-x^2 + 2x + 3}{x-1} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x-1} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

$\frac{(x+1)(x-3)}{x-1} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: -1, 1, 3.

Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (1, 3)$.

Теперь учтем ОДЗ $x \in (1, \infty)$:

$((-\infty, -1) \cup (1, 3)) \cap (1, \infty) = (1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$

4) $\log_x(16 - 6x - x^2) \le 1$

Найдем ОДЗ:

1) $16 - 6x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 16 < 0$. Корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$ равны $x_1 = -8, x_2 = 2$. Решение: $x \in (-8, 2)$.

2) $x > 0$ и $x \ne 1$.

Объединяя, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.

Функция убывающая, знак неравенства меняется.

$16 - 6x - x^2 \ge x$

$x^2 + 7x - 16 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 16 = 0$: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-16)}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49+64}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2}$.

Решение неравенства $x^2 + 7x - 16 \le 0$ есть отрезок $[\frac{-7 - \sqrt{113}}{2}, \frac{-7 + \sqrt{113}}{2}]$.

Найдем пересечение этого отрезка с условием случая $x \in (0, 1)$.

Поскольку $\frac{-7 - \sqrt{113}}{2} < 0$ и $1 < \frac{-7 + \sqrt{113}}{2} < 2$, пересечением является интервал $(0, 1)$.

Случай 2: Основание $1 < x < 2$ (из ОДЗ).

Функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$16 - 6x - x^2 \le x$

$x^2 + 7x - 16 \ge 0$

Корни те же: $\frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2}$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{-7 - \sqrt{113}}{2}] \cup [\frac{-7 + \sqrt{113}}{2}, \infty)$.

Найдем пересечение с условием случая $x \in (1, 2)$:

$((-\infty, \frac{-7 - \sqrt{113}}{2}] \cup [\frac{-7 + \sqrt{113}}{2}, \infty)) \cap (1, 2) = [\frac{-7 + \sqrt{113}}{2}, 2)$.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях.

Ответ: $(0, 1) \cup [\frac{-7 + \sqrt{113}}{2}, 2)$