Номер 7.108, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.108. Найдите область определения функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{2,1} \frac{3x-1}{5-x} + \sqrt{x-4}};$

2) $f(x) = \sqrt{\log_6 (x+x^2) + \sqrt{-x^2+3x-2}}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{2,1}\frac{3x-1}{5-x}} + \sqrt{x-4}$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — положительным.

$ \begin{cases} \log_{2,1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{2,1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0$.

Поскольку основание логарифма $2,1 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$\frac{3x-1}{5-x} \ge 2,1^0$

$\frac{3x-1}{5-x} \ge 1$

Это неравенство также обеспечивает условие $\frac{3x-1}{5-x} > 0$, так как правая часть больше 1.

Решим полученное дробно-рациональное неравенство:

$\frac{3x-1}{5-x} - 1 \ge 0$

$\frac{3x-1 - (5-x)}{5-x} \ge 0$

$\frac{3x-1 - 5 + x}{5-x} \ge 0$

$\frac{4x-6}{5-x} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $4x-6=0 \Rightarrow x=1,5$; $5-x=0 \Rightarrow x=5$.

Методом интервалов определяем, что неравенство выполняется при $x \in [1,5; 5)$.

Теперь рассмотрим второе неравенство системы:

$x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$[1,5; 5) \cap [4; +\infty) = [4; 5)$.

Таким образом, область определения исходной функции — это промежуток $[4; 5)$.

Ответ: $[4; 5)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_6(x+x^2)} + \sqrt{-x^2+3x-2}$ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} \log_6(x+x^2) \ge 0 \\ -x^2+3x-2 \ge 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $\log_6(x+x^2) \ge 0$.

Так как основание логарифма $6 > 1$, функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$x+x^2 \ge 6^0$

$x^2+x \ge 1$

$x^2+x-1 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+x-1=0$:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Парабола $y=x^2+x-1$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Теперь рассмотрим второе неравенство системы:

$-x^2+3x-2 \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2-3x+2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2-3x+2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=2$.

Парабола $y=x^2-3x+2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [1; 2]$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\left((-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; +\infty)\right) \cap [1; 2]$.

Оценим значения корней: $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1,62$ и $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0,62$.

Первый промежуток $(-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}]$ не пересекается с $[1; 2]$.

Рассмотрим пересечение $[\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; +\infty)$ и $[1; 2]$.

Так как $1 > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (что эквивалентно $3 > \sqrt{5}$ или $9>5$), то пересечением является отрезок $[1; 2]$.

Область определения исходной функции — это отрезок $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.