Номер 7.103, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.103. Решите неравенство:

1) $ \log_2^2 x + \log_2 x - 2 \le 0; $

2) $ \log_{0.2}^2 x - 5 \log_{0.2} x < -6; $

3) $ \log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x > 0; $

4) $ 2 - \lg^2 x > \lg x. $

1) $\log_2^2 x + \log_2 x - 2 \le 0$

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$t^2 + t - 2 \le 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + t - 2$ направлены вверх, решение неравенства $t^2 + t - 2 \le 0$ есть промежуток между корнями, включая их:

$-2 \le t \le 1$

Выполним обратную замену:

$-2 \le \log_2 x \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \log_2 x \ge -2 \\ \log_2 x \le 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\begin{cases} x \ge 2^{-2} \\ x \le 2^1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x \le 2 \end{cases}$

Получаем решение $x \in [\frac{1}{4}, 2]$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; 2]$.

2) $\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x < -6$

Решение:

Перепишем неравенство в виде $\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x + 6 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{0.2} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Решением квадратного неравенства является интервал между корнями:

$2 < t < 3$

Выполним обратную замену:

$2 < \log_{0.2} x < 3$

Так как основание логарифма $0.2 \in (0, 1)$, функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей. Поэтому при потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные:

$0.2^3 < x < 0.2^2$

$(\frac{1}{5})^3 < x < (\frac{1}{5})^2$

$\frac{1}{125} < x < \frac{1}{25}$

Полученное решение $x \in (\frac{1}{125}, \frac{1}{25})$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{125}; \frac{1}{25})$.

3) $\log_{0.1}^2 x + 3\log_{0.1} x > 0$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{0.1} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + 3t > 0$

$t(t+3) > 0$

Корни уравнения $t(t+3)=0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 0$. Решением неравенства является объединение двух интервалов:

$t < -3$ или $t > 0$

Выполним обратную замену и рассмотрим два случая:

1. $\log_{0.1} x < -3$

Так как основание логарифма $0.1 \in (0, 1)$, функция убывающая, знак неравенства меняется:

$x > (0.1)^{-3} \implies x > (\frac{1}{10})^{-3} \implies x > 10^3 \implies x > 1000$

2. $\log_{0.1} x > 0$

Знак неравенства также меняется:

$x < (0.1)^0 \implies x < 1$

Объединяя полученные результаты и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем:

$x \in (0, 1) \cup (1000, +\infty)$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1000; +\infty)$.

4) $2 - \lg^2 x > \lg x$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$. (Здесь $\lg x$ - это десятичный логарифм $\log_{10} x$).

Перенесем все члены в одну сторону:

$-\lg^2 x - \lg x + 2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\lg^2 x + \lg x - 2 < 0$

Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + t - 2 < 0$

Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Решением квадратного неравенства является интервал между корнями:

$-2 < t < 1$

Выполним обратную замену:

$-2 < \lg x < 1$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция $y = \lg x$ является возрастающей, знаки неравенства сохраняются при потенцировании:

$10^{-2} < x < 10^1$

$0.01 < x < 10$

Решение $x \in (0.01, 10)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (0.01; 10)$.