Номер 7.109, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.109. Решите логарифмическое неравенство методом введения но- вой переменной:

1) $\ln^2 x - 2 \cdot \ln x - 3 \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \ln x$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 - 2t - 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

$t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 3 \le 0$ выполняется при $\text{t}$, находящемся между корнями, включая их:

$-1 \le t \le 3$.

Выполним обратную замену $t = \ln x$:

$-1 \le \ln x \le 3$.

Это двойное неравенство. Так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знак неравенства сохраняется:

$e^{-1} \le x \le e^3$.

Или в другом виде:

$\frac{1}{e} \le x \le e^3$.

Полученный интервал $\left[\frac{1}{e}; e^3\right]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x>0$), так как $e > 0$.

Ответ: $x \in \left[\frac{1}{e}; e^3\right]$.

2) $\left(\log_{\frac{1}{2}}(x-2)\right)^2 > 4$

ОДЗ: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.

Введем новую переменную: $t = \log_{\frac{1}{2}}(x-2)$. Неравенство примет вид:

$t^2 > 4$.

Это равносильно совокупности двух неравенств:

$t < -2$ или $t > 2$.

Выполним обратную замену:

1. $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) < -2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

$x - 2 > 2^2$

$x - 2 > 4$

$x > 6$.

2. $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > 2$.

Аналогично, меняем знак неравенства:

$x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$x - 2 < \frac{1}{4}$

$x < 2 + \frac{1}{4}$

$x < \frac{9}{4}$ или $x < 2.25$.

Объединим полученные решения и учтем ОДЗ ($x > 2$):

Для $x > 6$: пересечение с $x > 2$ дает $x > 6$.

Для $x < \frac{9}{4}$: пересечение с $x > 2$ дает $2 < x < \frac{9}{4}$.

Итоговое решение является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $x \in \left(2; \frac{9}{4}\right) \cup (6; +\infty)$.

3) $\log_3^2 x - \log_3 x > 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\log_3^2 x - \log_3 x - 2 > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Введем новую переменную: $t = \log_3 x$. Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - t - 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.

$t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Парабола $y = t^2 - t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $\text{t}$ вне интервала между корнями:

$t < -1$ или $t > 2$.

Выполним обратную замену:

1. $\log_3 x < -1$.

Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x < 3^{-1}$

$x < \frac{1}{3}$.

2. $\log_3 x > 2$.

$x > 3^2$

$x > 9$.

Учтем ОДЗ ($x > 0$):

Из $x < \frac{1}{3}$ и $x > 0$ следует $0 < x < \frac{1}{3}$.

Из $x > 9$ и $x > 0$ следует $x > 9$.

Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{3}\right) \cup (9; +\infty)$.

4) $\frac{2}{\lg x + 1} \ge 1$

ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\lg x + 1 \neq 0$, что означает $\lg x \neq -1$, то есть $x \neq 10^{-1}$ или $x \neq 0.1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 0.1) \cup (0.1; +\infty)$.

Введем новую переменную: $t = \lg x$. Неравенство примет вид:

$\frac{2}{t + 1} \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2}{t+1} - 1 \ge 0$

$\frac{2 - (t+1)}{t+1} \ge 0$

$\frac{1 - t}{t + 1} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $t=1$. Нуль знаменателя: $t=-1$.

Отметим точки на числовой оси: $-1$ (выколотая) и $\text{1}$ (закрашенная).

Проверим знаки на интервалах:

При $t > 1$: $\frac{-}{+} = -$.

При $-1 < t < 1$: $\frac{+}{+} = +$.

При $t < -1$: $\frac{+}{-} = -$.

Нас интересует, где выражение больше или равно нулю, то есть $-1 < t \le 1$.

Выполним обратную замену:

$-1 < \lg x \le 1$.

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенства сохраняются:

$10^{-1} < x \le 10^1$.

$0.1 < x \le 10$.

Данный интервал $(0.1; 10]$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.1; 10]$.