Номер 7.113, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.113. Решите логарифмическое неравенство:

1) $\frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3} 100 - \log_{0,3} 9} < 1;$

2) $2 \cdot \log_8 (x-2) - \log_8 (x-3) > \frac{2}{3};$

3) $0,5 + \log_9 x - \log_9 5x > \log_{\frac{1}{3}} (x+3);$

4) $(\log_{0,2} (x-1))^2 > 4.$

1) Исходное неравенство: $\frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3}100 - \log_{0,3}9} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.

Преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов: $\log_{0,3}100 - \log_{0,3}9 = \log_{0,3}\frac{100}{9}$.

Основание логарифма $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Так как $\frac{100}{9} > 1$, то значение знаменателя $\log_{0,3}\frac{100}{9} < \log_{0,3}1 = 0$.

Знаменатель отрицателен. Домножим обе части неравенства на знаменатель, изменив знак неравенства на противоположный:

$\log_{0,3}(x+1) > \log_{0,3}\frac{100}{9}$.

При потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) с основанием $0,3 < 1$ знак неравенства снова меняется на противоположный:

$x+1 < \frac{100}{9}$

$x < \frac{100}{9} - 1$

$x < \frac{91}{9}$.

С учетом ОДЗ ($x > -1$), получаем итоговое решение: $-1 < x < \frac{91}{9}$.

Ответ: $(-1; \frac{91}{9})$.

2) Исходное неравенство: $2\cdot\log_8(x-2) - \log_8(x-3) > \frac{2}{3}$.

ОДЗ: $\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем левую часть:

$\log_8(x-2)^2 - \log_8(x-3) > \frac{2}{3}$

$\log_8\frac{(x-2)^2}{x-3} > \frac{2}{3}$.

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 8:

$\frac{2}{3} = \log_8(8^{\frac{2}{3}}) = \log_8((\sqrt[3]{8})^2) = \log_8(2^2) = \log_8(4)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_8\frac{(x-2)^2}{x-3} > \log_8(4)$.

Так как основание логарифма $8 > 1$, при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\frac{(x-2)^2}{x-3} > 4$

$\frac{(x-2)^2}{x-3} - 4 > 0$

$\frac{x^2 - 4x + 4 - 4(x-3)}{x-3} > 0$

$\frac{x^2 - 4x + 4 - 4x + 12}{x-3} > 0$

$\frac{x^2 - 8x + 16}{x-3} > 0$

$\frac{(x-4)^2}{x-3} > 0$.

Числитель $(x-4)^2 \ge 0$ при всех $\text{x}$. Неравенство строгое, поэтому $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.

Объединяя условия $x > 3$ и $x \neq 4$ с ОДЗ ($x > 3$), получаем решение: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(3; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $0,5 + \log_9 x - \log_3 5x > \log_{\frac{1}{3}}(x+3)$.

ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ 5x > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}}(x+3) = \log_{3^{-1}}(x+3) = -\log_3(x+3)$

$\log_3 5x = \log_3 5 + \log_3 x$.

Подставим в неравенство:

$0,5 + \frac{1}{2}\log_3 x - (\log_3 5 + \log_3 x) > -\log_3(x+3)$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_3 x - \log_3 5 - \log_3 x + \log_3(x+3) > 0$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log_3 x - \log_3 5 + \log_3(x+3) > 0$.

Объединим логарифмы, представив $\frac{1}{2} = \log_3 \sqrt{3}$:

$\log_3\sqrt{3} - \log_3\sqrt{x} - \log_3 5 + \log_3(x+3) > 0$

$\log_3\frac{\sqrt{3}(x+3)}{5\sqrt{x}} > 0$.

Запишем $\text{0}$ как $\log_3 1$: $\log_3\frac{\sqrt{3}(x+3)}{5\sqrt{x}} > \log_3 1$.

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{\sqrt{3}(x+3)}{5\sqrt{x}} > 1$.

Так как по ОДЗ $x > 0$, то $5\sqrt{x} > 0$. Умножим обе части на $5\sqrt{x}$:

$\sqrt{3}(x+3) > 5\sqrt{x}$

$\sqrt{3}x - 5\sqrt{x} + 3\sqrt{3} > 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.

$\sqrt{3}t^2 - 5t + 3\sqrt{3} > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-5)^2 - 4(\sqrt{3})(3\sqrt{3}) = 25 - 4 \cdot 9 = 25 - 36 = -11$.

Так как старший коэффициент $\sqrt{3} > 0$ и дискриминант $D < 0$, парабола $\sqrt{3}t^2 - 5t + 3\sqrt{3}$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство $\sqrt{3}t^2 - 5t + 3\sqrt{3} > 0$ выполняется для любых действительных $\text{t}$.

Следовательно, оно выполняется и для всех $t > 0$, что соответствует нашему условию $x > 0$.

Таким образом, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $(0; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(\log_{0,2}(x-1))^2 > 4$.

ОДЗ: $x-1 > 0 \implies x > 1$.

Пусть $t = \log_{0,2}(x-1)$. Неравенство принимает вид $t^2 > 4$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $t < -2$ или $t > 2$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_{0,2}(x-1) < -2$

Представим правую часть в виде логарифма: $-2 = \log_{0,2}(0,2^{-2}) = \log_{0,2}((\frac{1}{5})^{-2}) = \log_{0,2}(5^2) = \log_{0,2}(25)$.

$\log_{0,2}(x-1) < \log_{0,2}(25)$.

Так как основание $0,2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x-1 > 25 \implies x > 26$.

2) $\log_{0,2}(x-1) > 2$

Представим правую часть в виде логарифма: $2 = \log_{0,2}(0,2^2) = \log_{0,2}(0,04)$.

$\log_{0,2}(x-1) > \log_{0,2}(0,04)$.

Так как основание $0,2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x-1 < 0,04 \implies x < 1,04$.

Объединим полученные результаты с ОДЗ ($x>1$):

Из первого случая: $x > 26$. Это удовлетворяет ОДЗ.

Из второго случая: $\begin{cases} x < 1,04 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 1,04$.

Решением исходного неравенства является объединение решений двух случаев.

Ответ: $(1; 1,04) \cup (26; +\infty)$.