Номер 7.119, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.119. Докажите, что верно неравенство $2 < \log_3 2 + \log_2 3 < 3$.

Для доказательства данного двойного неравенства докажем два неравенства по отдельности: $log_3{2} + log_2{3} > 2$ и $log_3{2} + log_2{3} < 3$.

1. Докажем, что $log_3{2} + log_2{3} > 2$.

Воспользуемся свойством логарифмов $log_a{b} = \frac{1}{log_b{a}}$. Тогда $log_3{2} = \frac{1}{log_2{3}}$.

Пусть $x = log_2{3}$. Так как $2^1 = 2$ и $2^2 = 4$, то $1 < log_2{3} < 2$. Следовательно, $x > 0$ и $x \ne 1$.

Неравенство принимает вид: $\frac{1}{x} + x > 2$.

Так как $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $\text{x}$, не меняя знака неравенства:

$1 + x^2 > 2x$

$x^2 - 2x + 1 > 0$

$(x - 1)^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел $\text{x}$, кроме $x=1$.

Поскольку $x = log_2{3}$, а $log_2{3} \ne 1$ (так как $2^1 \ne 3$), то неравенство $(log_2{3} - 1)^2 > 0$ является верным. Следовательно, и исходное неравенство $log_3{2} + log_2{3} > 2$ также верно.

2. Докажем, что $log_3{2} + log_2{3} < 3$.

Используя ту же замену $x = log_2{3}$, где $x > 0$, получаем неравенство:

$\frac{1}{x} + x < 3$

Умножим обе части на $\text{x}$ (знак не меняется, так как $x > 0$):

$1 + x^2 < 3x$

$x^2 - 3x + 1 < 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 1 = 0$. Его корни находятся по формуле:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Парабола $y = x^2 - 3x + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x + 1 < 0$ выполняется, когда $\text{x}$ находится между корнями:

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь нам нужно доказать, что $x = log_2{3}$ удовлетворяет этому двойному неравенству.

а) Докажем, что $log_2{3} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

$2 \cdot log_2{3} < 3 + \sqrt{5}$

$log_2{3^2} < 3 + \sqrt{5}$

$log_2{9} < 3 + \sqrt{5}$

Так как логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, это эквивалентно:

$9 < 2^{3 + \sqrt{5}}$

$9 < 2^3 \cdot 2^\sqrt{5}$

$9 < 8 \cdot 2^\sqrt{5}$

Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Тогда $2^\sqrt{5} > 2^2 = 4$.

Следовательно, $8 \cdot 2^\sqrt{5} > 8 \cdot 4 = 32$. Так как $9 < 32$, неравенство верно.

б) Докажем, что $log_2{3} > \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

$2 \cdot log_2{3} > 3 - \sqrt{5}$

$log_2{9} > 3 - \sqrt{5}$

$9 > 2^{3 - \sqrt{5}}$

$9 > \frac{2^3}{2^\sqrt{5}}$

$9 \cdot 2^\sqrt{5} > 8$

Как мы уже установили, $2^\sqrt{5} > 4$.

Следовательно, $9 \cdot 2^\sqrt{5} > 9 \cdot 4 = 36$. Так как $36 > 8$, неравенство верно.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < log_2{3} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, что означает, что неравенство $x^2 - 3x + 1 < 0$ при $x=log_2{3}$ верно. Значит, верно и неравенство $log_3{2} + log_2{3} < 3$.

Поскольку мы доказали обе части двойного неравенства, то и само неравенство $2 < log_3{2} + log_2{3} < 3$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.