Номер 7.118, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.118. Решите систему неравенств:

$(x-1)\ln 2 + \ln(2^{x+1}+1) < \ln(7 \cdot 2^x + 12)$

$\log_x(x+2) > 2$

Решим данную систему неравенств, рассмотрев каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство системы: $(x-1)\ln 2 + \ln(2^{x+1} + 1) < \ln(7 \cdot 2^x + 12)$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства — все действительные числа $\text{x}$, так как выражения под знаком натурального логарифма всегда положительны: $2^{x+1} + 1 > 0$ и $7 \cdot 2^x + 12 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов $k \ln a = \ln a^k$ и $\ln a + \ln b = \ln(ab)$:

$\ln(2^{x-1}) + \ln(2^{x+1} + 1) < \ln(7 \cdot 2^x + 12)$

$\ln(2^{x-1} \cdot (2^{x+1} + 1)) < \ln(7 \cdot 2^x + 12)$

Так как логарифмическая функция с основанием $e > 1$ является возрастающей, то мы можем перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак неравенства:

$2^{x-1} \cdot (2^{x+1} + 1) < 7 \cdot 2^x + 12$

Раскроем скобки в левой части:

$2^{x-1} \cdot 2^{x+1} + 2^{x-1} \cdot 1 < 7 \cdot 2^x + 12$

$2^{(x-1)+(x+1)} + 2^x \cdot 2^{-1} < 7 \cdot 2^x + 12$

$2^{2x} + \frac{1}{2} \cdot 2^x < 7 \cdot 2^x + 12$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $\text{x}$, то $t > 0$.

$t^2 + \frac{1}{2}t < 7t + 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 + \frac{1}{2}t - 7t - 12 < 0$

$t^2 - \frac{13}{2}t - 12 < 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2t^2 - 13t - 24 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 13t - 24 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2$

$t_1 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$t_2 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

Парабола $y=2t^2 - 13t - 24$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 13t - 24 < 0$ выполняется между корнями: $-1.5 < t < 8$.

Учитывая условие замены $t > 0$, получаем $0 < t < 8$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$:

$0 < 2^x < 8$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех $\text{x}$. Решим неравенство $2^x < 8$:

$2^x < 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, то $x < 3$.

Решением первого неравенства является интервал $x \in (-\infty, 3)$.

2. Решим второе неравенство системы: $\log_x(x+2) > 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице, а аргумент должен быть положительным:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > -2 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для решения логарифмического неравенства рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $\text{x}$.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_x(x+2) > 2 \cdot \log_x x = \log_x x^2$

$x+2 < x^2$

$x^2 - x - 2 > 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Решением неравенства $x^2 - x - 2 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с условием $0 < x < 1$: $((-\infty, -1) \cup (2, \infty)) \cap (0, 1) = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание $x > 1$.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знак неравенства сохраняется.

$\log_x(x+2) > \log_x x^2$

$x+2 > x^2$

$x^2 - x - 2 < 0$

Решением этого неравенства является интервал между корнями, то есть $(-1, 2)$.

Найдем пересечение полученного решения с условием $x > 1$: $(-1, 2) \cap (1, \infty) = (1, 2)$.

Объединяя решения из двух случаев (в первом случае решений нет), получаем, что решение второго неравенства — $x \in (1, 2)$.

3. Найдем решение системы неравенств

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x < 3 \\ 1 < x < 2 \end{cases}$

Пересечением множеств $(-\infty, 3)$ и $(1, 2)$ является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.