Номер 7.121, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.121. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \log_3 |x-3|}$.

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \log_3 |x-3|}$ необходимо учесть несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Эти условия можно записать в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} |x-3| > 0 & \text{(аргумент внутреннего логарифма положителен)} \\ \log_3 |x-3| > 0 & \text{(аргумент внешнего логарифма положителен)} \\ \log_{\frac{1}{3}} \log_3 |x-3| \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \end{cases} $

Рассмотрим третье неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} \log_3 |x-3| \ge 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, данное неравенство равносильно двойному неравенству для его аргумента: $0 < \log_3 |x-3| \le 1$. Это двойное неравенство является более строгим и включает в себя все три исходных условия. Если $\log_3 |x-3| > 0$, то и $|x-3| > 3^0=1$, что автоматически удовлетворяет первому условию $|x-3| > 0$. Второе условие также очевидно выполняется.

Таким образом, задача сводится к решению неравенства $0 < \log_3 |x-3| \le 1$. Представим числа 0 и 1 в виде логарифмов по основанию 3: $\log_3 1 < \log_3 |x-3| \le \log_3 3$.

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знаки неравенств сохраняются: $1 < |x-3| \le 3$.

Полученное двойное неравенство для модуля равносильно системе: $ \begin{cases} |x-3| > 1 \\ |x-3| \le 3 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|x-3| > 1$. Оно распадается на два случая: $x-3 > 1$ или $x-3 < -1$. Отсюда получаем $x > 4$ или $x < 2$. Решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $|x-3| \le 3$. Оно равносильно $-3 \le x-3 \le 3$. Прибавляя 3 ко всем частям, получаем $0 \le x \le 6$. Решение: $x \in [0, 6]$.

Область определения функции является пересечением решений этих двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$ и $[0, 6]$. В результате получаем объединение промежутков: $[0, 2) \cup (4, 6]$.

Ответ: $x \in [0, 2) \cup (4, 6]$.