Номер 7.116, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.116. Пусть $a > 1$, $b \ge 1$, $c > 0$. Докажите неравенство

$(1 + \log_a b) (\log_{ab}^2 c + 1) \ge 2 \cdot \log_a c$.

Для доказательства неравенства $(1 + \log_a b)(\log_{ab}^2 c + 1) \geq 2 \cdot \log_a c$ при заданных условиях $a > 1$, $b \geq 1$, $c > 0$, преобразуем его левую часть.

Основная идея — привести все логарифмы к одному основанию. В качестве такого основания выберем $\text{a}$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

Применим эту формулу к логарифму $\log_{ab} c$: $$ \log_{ab} c = \frac{\log_a c}{\log_a (ab)} $$ Используя свойство логарифма произведения, $\log_a(ab) = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$. Таким образом, получаем: $$ \log_{ab} c = \frac{\log_a c}{1 + \log_a b} $$

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного неравенства (обозначим ее ЛЧ): $$ \text{ЛЧ} = (1 + \log_a b) \left( \left( \frac{\log_a c}{1 + \log_a b} \right)^2 + 1 \right) $$ Раскроем скобки, умножив $(1 + \log_a b)$ на каждый член во второй скобке: $$ \text{ЛЧ} = (1 + \log_a b) \cdot \frac{\log_a^2 c}{(1 + \log_a b)^2} + (1 + \log_a b) \cdot 1 $$ Сократим первый член: $$ \text{ЛЧ} = \frac{\log_a^2 c}{1 + \log_a b} + (1 + \log_a b) $$

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде: $$ \frac{\log_a^2 c}{1 + \log_a b} + 1 + \log_a b \geq 2 \log_a c $$ Перенесем $2 \log_a c$ в левую часть: $$ \frac{\log_a^2 c}{1 + \log_a b} + (1 + \log_a b) - 2 \log_a c \geq 0 $$

Для удобства введем замены. Пусть $X = 1 + \log_a b$ и $Y = \log_a c$. Неравенство примет вид: $$ \frac{Y^2}{X} + X - 2Y \geq 0 $$ Проанализируем знак $\text{X}$. По условию $a > 1$ и $b \geq 1$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то $\log_a b \geq \log_a 1 = 0$. Следовательно, $X = 1 + \log_a b \geq 1 + 0 = 1$. Это означает, что $\text{X}$ всегда положительное число.

Поскольку $X > 0$, мы можем привести левую часть неравенства к общему знаменателю $\text{X}$, не меняя знака неравенства: $$ \frac{Y^2 + X^2 - 2XY}{X} \geq 0 $$ Числитель представляет собой полный квадрат разности: $$ \frac{(Y - X)^2}{X} \geq 0 $$

Полученное неравенство является верным для любых допустимых значений $a, b, c$, так как:

1. Числитель $(Y - X)^2 = (\log_a c - (1 + \log_a b))^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, т.е. $(Y - X)^2 \geq 0$.

2. Знаменатель $X = 1 + \log_a b$, как мы установили ранее, всегда положителен ($X \geq 1$).

Отношение неотрицательного числа к положительному числу всегда неотрицательно. Таким образом, мы доказали, что $\frac{(Y - X)^2}{X} \geq 0$, а значит, и исходное неравенство справедливо.

Ответ: Неравенство доказано.