Номер 7.117, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.117. Решите неравенство:

1) $\log_2 (2^x - 1) \cdot \log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) > -2;$

2) $3^{(\log_3 x)^2} + x^{\log_3 x} < 6;$

3) $2^{\log_{2-x} (x^2+8x+15)} < 1;$

4) $\log_x (\log_9 (3^x - 9)) < 1.$

1)

Решим неравенство $\log_{2}(2^x - 1) \cdot \log_{\frac{1}{2}}(2^{x+1} - 2) > -2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$2^x - 1 > 0 \implies 2^x > 1 \implies 2^x > 2^0 \implies x > 0$.

$2^{x+1} - 2 > 0 \implies 2 \cdot 2^x - 2 > 0 \implies 2^x > 1 \implies x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второй логарифм, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_b(cd) = \log_b c + \log_b d$.

$\log_{\frac{1}{2}}(2^{x+1} - 2) = \log_{2^{-1}}(2(2^x - 1)) = -\log_2(2(2^x-1)) = -(\log_2 2 + \log_2(2^x-1)) = -(1 + \log_2(2^x-1))$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_2(2^x - 1) \cdot [-(1 + \log_2(2^x-1))] > -2$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\log_2(2^x - 1) \cdot (1 + \log_2(2^x-1)) < 2$.

Сделаем замену. Пусть $t = \log_2(2^x - 1)$. Неравенство принимает вид:

$t(1+t) < 2$

$t^2 + t - 2 < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + t - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$-2 < t < 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$-2 < \log_2(2^x - 1) < 1$.

Так как основание логарифма 2 больше 1, можно потенцировать, сохраняя знаки неравенства:

$2^{-2} < 2^x - 1 < 2^1$

$\frac{1}{4} < 2^x - 1 < 2$.

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$1 + \frac{1}{4} < 2^x < 2 + 1$

$\frac{5}{4} < 2^x < 3$.

Прологарифмируем все части по основанию 2:

$\log_2(\frac{5}{4}) < \log_2(2^x) < \log_2(3)$

$\log_2 5 - \log_2 4 < x < \log_2 3$

$\log_2 5 - 2 < x < \log_2 3$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$), так как $\log_2 5 - 2 = \log_2(5/4) > \log_2 1 = 0$.

Ответ: $x \in (\log_2 5 - 2; \log_2 3)$.

2)

Решим неравенство $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} < 6$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_3 x}$. Используем основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:

$x = 3^{\log_3 x}$.

Тогда $x^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{\log_3 x} = 3^{(\log_3 x) \cdot (\log_3 x)} = 3^{\log_3^2 x}$.

Таким образом, оба слагаемых в левой части неравенства равны.

Неравенство принимает вид:

$3^{\log_3^2 x} + 3^{\log_3^2 x} < 6$

$2 \cdot 3^{\log_3^2 x} < 6$

$3^{\log_3^2 x} < 3$.

Так как основание степени 3 больше 1, переходим к неравенству для показателей:

$\log_3^2 x < 1$.

Пусть $t = \log_3 x$. Получаем $t^2 < 1$.

Это равносильно $|t| < 1$, или $-1 < t < 1$.

Возвращаемся к переменной $\text{x}$:

$-1 < \log_3 x < 1$.

Так как основание логарифма 3 больше 1, потенцируем, сохраняя знаки:

$3^{-1} < x < 3^1$

$\frac{1}{3} < x < 3$.

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 3)$.

3)

Решим неравенство $2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 1$.

Представим 1 как $2^0$: $2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 2^0$.

Так как основание степени 2 больше 1, неравенство равносильно:

$\log_{2-x}(x^2+8x+15) < 0$.

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма положителен: $x^2+8x+15 > 0$. Корни уравнения $x^2+8x+15 = 0$ равны $x=-5$ и $x=-3$. Значит, $(x+5)(x+3) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; \infty)$.

2. Основание логарифма положительно и не равно 1: $2-x > 0 \implies x < 2$ и $2-x \neq 1 \implies x \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; 1) \cup (1; 2)$.

Решение логарифмического неравенства $\log_a f(x) < 0$ зависит от основания $\text{a}$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $0 < 2-x < 1$.

Это двойное неравенство дает $1 < x < 2$. При таком основании знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+8x+15 > (2-x)^0 \implies x^2+8x+15 > 1 \implies x^2+8x+14 > 0$.

Найдем корни $x^2+8x+14=0$: $D = 64-56=8$, $x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}$.

Неравенство $x^2+8x+14 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4-\sqrt{2}) \cup (-4+\sqrt{2}; \infty)$.

Находим пересечение этого решения с условием случая $x \in (1; 2)$ и ОДЗ. Поскольку $1 > -4+\sqrt{2}$ (т.к. $\sqrt{2} \approx 1.4$), то весь интервал $(1; 2)$ входит в $(-4+\sqrt{2}; \infty)$. Интервал $(1;2)$ также входит в ОДЗ. Таким образом, решение в первом случае: $x \in (1; 2)$.

Случай 2: Основание $2-x > 1$.

Это условие дает $x < 1$. При таком основании знак неравенства сохраняется:

$0 < x^2+8x+15 < (2-x)^0 \implies x^2+8x+15 < 1 \implies x^2+8x+14 < 0$.

Это неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4-\sqrt{2}; -4+\sqrt{2})$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x<1$ и ОДЗ $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; 1)$.

Интервал $(-4-\sqrt{2}; -4+\sqrt{2})$ это примерно $(-5.41; -2.59)$.

Пересечение $(-5.41; -2.59)$ с $(-\infty; -5) \cup (-3; 1)$ дает объединение двух интервалов:

$(-4-\sqrt{2}; -5) \cup (-3; -4+\sqrt{2})$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-4-\sqrt{2}; -5) \cup (-3; -4+\sqrt{2}) \cup (1; 2)$.

4)

Решим неравенство $\log_x(\log_9(3^x-9)) < 1$.

Найдем ОДЗ:

1. Основание внешнего логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

2. Аргумент внутреннего логарифма: $3^x-9 > 0 \implies 3^x > 9 \implies 3^x > 3^2 \implies x > 2$.

3. Аргумент внешнего логарифма: $\log_9(3^x-9) > 0$. Так как основание 9 > 1, это равносильно $3^x-9 > 9^0 \implies 3^x-9 > 1 \implies 3^x > 10 \implies x > \log_3 10$.

Сравним $x > 2$ и $x > \log_3 10$. Так как $10 > 9$, то $\log_3 10 > \log_3 9 = 2$. Следовательно, условие $x > \log_3 10$ является самым сильным.

ОДЗ: $x > \log_3 10$.

Из ОДЗ следует, что основание логарифма $\text{x}$ строго больше 1 (так как $\log_3 10 > 2$). Поэтому при решении неравенства знак не меняется:

$\log_x(\log_9(3^x-9)) < 1 \implies \log_9(3^x-9) < x^1$.

$\log_9(3^x-9) < x$.

Представим правую часть как логарифм по основанию 9: $x = \log_9(9^x)$.

$\log_9(3^x-9) < \log_9(9^x)$.

Так как основание 9 > 1, переходим к неравенству для аргументов:

$3^x-9 < 9^x$

$3^x-9 < (3^x)^2$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ $x > \log_3 10$ следует, что $t > 3^{\log_3 10}$, то есть $t > 10$.

Неравенство принимает вид:

$t-9 < t^2$

$t^2 - t + 9 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(t) = t^2 - t + 9$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.

Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент (1) положителен, парабола полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $t^2 - t + 9 > 0$ для любого действительного $\text{t}$.

Это означает, что неравенство выполняется для всех $\text{t}$ из области определения, то есть для всех $t > 10$.

Следовательно, решением исходного неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in (\log_3 10; +\infty)$.