Номер 7.111, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.111. Решите логарифмическое неравенство:

1) $\log_{1-x}(2x + 3) \ge 1;$

2) $\log_{x-1}(x - 8) \le 1;$

3) $\log_{3x}(2.5x + 1) \ge 0.$

1) Решим неравенство $\log_{1-x}(2x + 3) \ge 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно единице:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 1 - x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ x < 1 \\ x \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.5 \\ x < 1 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.

Представим правую часть неравенства как логарифм с тем же основанием: $1 = \log_{1-x}(1-x)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{1-x}(2x + 3) \ge \log_{1-x}(1-x)$.

Это неравенство равносильно системе, которую решим методом рационализации. Неравенство вида $\log_a f \ge \log_a g$ равносильно $(a-1)(f-g) \ge 0$ в области допустимых значений.

$((1-x) - 1)((2x + 3) - (1-x)) \ge 0$

$(-x)(2x + 3 - 1 + x) \ge 0$

$(-x)(3x + 2) \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x(3x + 2) \le 0$

Корни левой части: $x=0$ и $x=-2/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2/3, 0]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.

Пересечение множеств $[-2/3, 0]$ и $((-1.5, 0) \cup (0, 1))$ дает интервал $[-2/3, 0)$.

Ответ: $x \in [-2/3, 0)$.

2) Решим неравенство $\log_{x-1}(x - 8) \le 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 8 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x - 1 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 8 \\ x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 8$.

Представим неравенство в виде $\log_{x-1}(x - 8) \le \log_{x-1}(x - 1)$.

На ОДЗ ($x > 8$) основание логарифма $x-1$ всегда больше 1 ($x-1 > 7$), поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x - 8 \le x - 1$

$-8 \le -1$

Это верное неравенство. Так как оно верно для любого $\text{x}$, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{3x}(2,5x + 1) \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2,5x + 1 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/2,5 \\ x > 0 \\ x \ne 1/3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0,4 \\ x > 0 \\ x \ne 1/3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{3x}(1)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{3x}(2,5x + 1) \ge \log_{3x}(1)$.

Применим метод рационализации. Неравенство $\log_a f \ge \log_a g$ равносильно $(a-1)(f-g) \ge 0$ в ОДЗ.

$(3x - 1)((2,5x + 1) - 1) \ge 0$

$(3x - 1)(2,5x) \ge 0$

Корни левой части: $x=0$ и $x=1/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $\text{x}$ находится вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 0] \cup [1/3, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

Пересечение множеств $(-\infty, 0] \cup [1/3, +\infty)$ и $((0, 1/3) \cup (1/3, +\infty))$ дает интервал $(1/3, +\infty)$. Точка $x=1/3$ не входит в решение, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (1/3, +\infty)$.