Номер 7.105, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.105. Решите логарифмическое неравенство:

1) $\lg(x^2 + 2x + 2) < 1$;

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$;

3) $\log_2(x^2 + 10) < 4$;

4) $\log_{\frac{1}{8}}(x^2 + 3x - 1) < -1$.

1) Решим неравенство $lg(x^2 + 2x + 2) < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), парабола $y=x^2+2x+2$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любых действительных значениях $\text{x}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам.

$lg(x^2 + 2x + 2) < 1$

$lg(x^2 + 2x + 2) < lg(10)$

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями: $-4 < x < 2$.

Решение совпадает с ОДЗ, поэтому итоговый ответ $x \in (-4, 2)$.

Ответ: $(-4, 2)$.

2) Решим неравенство $log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$.

Найдем ОДЗ:

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -1$ или $x > 2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$

$log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2})$

$x^2 - x - 2 < (\frac{1}{2})^{-2}$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями: $-2 < x < 3$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (-2; 3) \cap ((-\infty; -1) \cup (2; +\infty))$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-2, -1)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $(-2, -1) \cup (2, 3)$.

3) Решим неравенство $log_2(x^2 + 10) < 4$.

Найдем ОДЗ:

$x^2 + 10 > 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $\text{x}$, то $x^2 + 10 \ge 10 > 0$. Неравенство выполняется для всех действительных $\text{x}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $a=2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$log_2(x^2 + 10) < 4$

$log_2(x^2 + 10) < log_2(2^4)$

$x^2 + 10 < 16$

$x^2 - 6 < 0$

$(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) < 0$

Решение этого неравенства: $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$.

Решение совпадает с ОДЗ, поэтому итоговый ответ $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

Ответ: $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

4) Решим неравенство $log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$.

Найдем ОДЗ:

$x^2 + 3x - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Неравенство $x^2 + 3x - 1 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{13}}{2}, +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$

$log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1})$

$x^2 + 3x - 1 > 3$

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x < -4$ или $x > 1$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$ с ОДЗ $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{13}}{2}, +\infty)$.

Сравним числа: $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, то есть $3 < \sqrt{13} < 4$. Сравним $-4$ и $\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. Умножим на 2: $-8$ и $-3-\sqrt{13}$. Прибавим 3: $-5$ и $-\sqrt{13}$. Возведем в квадрат положительные числа 5 и $\sqrt{13}$: $25 > 13$. Значит, $5 > \sqrt{13}$, и $-5 < -\sqrt{13}$. Следовательно, $-4 < \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. Сравним $\text{1}$ и $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$. Умножим на 2: $\text{2}$ и $-3+\sqrt{13}$. Прибавим 3: $\text{5}$ и $\sqrt{13}$. $5 > \sqrt{13}$, значит $1 > \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$. Таким образом, точки на числовой оси расположены в порядке: $-4$, $\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$, $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$, $\text{1}$.

Пересечение множеств $(-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$ и $(-\infty, \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{13}}{2}, +\infty)$ дает $(-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.