Номер 7.102, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.102. Решите неравенство:

1) $\log_2(3x - 2) < \log_2(2x - 3)$;

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) - \log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) > 0$;

3) $\log_x(x - 1) + \log_x(x - 2) < \log_x(x + 7)$;

4) $\ln x - \ln(2x - 5) \le \ln 2 - \ln(x - 3)$.

1) Решить неравенство $ \log_{2}(3x - 2) < \log_{2}(2x - 3) $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 3x > 2 \\ 2x > 3 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x > \frac{3}{2} $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{3}{2}, +\infty) $.

Основание логарифма $ 2 > 1 $, поэтому функция логарифма возрастающая. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 3x - 2 < 2x - 3 $

$ 3x - 2x < -3 + 2 $

$ x < -1 $

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ \begin{cases} x < -1 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно меньше $ -1 $ и больше $ \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \emptyset $ (нет решений).

2) Решить неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) - \log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) > 0 $.

Перепишем неравенство в виде $ \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > \log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2x - 4 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > 2 \\ 2x > 4 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > 2 \\ x > 2 \end{cases} $

ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.

Основание логарифма $ \frac{1}{2} $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому функция логарифма убывающая. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x - 2 < 2x - 4 $

$ 4 - 2 < 2x - x $

$ 2 < x $ или $ x > 2 $.

Пересечение полученного решения $ x > 2 $ с ОДЗ $ x > 2 $ дает $ x > 2 $.

Ответ: $ (2, +\infty) $.

3) Решить неравенство $ \log_{x}(x - 1) + \log_{x}(x - 2) < \log_{x}(x + 7) $.

Найдем ОДЗ. Аргументы должны быть положительными, а основание должно быть положительным и не равным единице:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x + 7 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \\ x > -7 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.

Используем свойство логарифмов $ \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc) $:

$ \log_{x}((x - 1)(x - 2)) < \log_{x}(x + 7) $.

Так как по ОДЗ $ x > 2 $, основание логарифма $ x $ всегда больше 1. Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$ (x - 1)(x - 2) < x + 7 $

$ x^2 - 2x - x + 2 < x + 7 $

$ x^2 - 3x + 2 < x + 7 $

$ x^2 - 4x - 5 < 0 $

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 4x - 5 = 0 $. Корни можно найти по теореме Виета: $ x_1 = 5, x_2 = -1 $.

Так как ветви параболы $ y = x^2 - 4x - 5 $ направлены вверх, неравенство $ x^2 - 4x - 5 < 0 $ выполняется между корнями: $ -1 < x < 5 $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x > 2 $:

$ \begin{cases} -1 < x < 5 \\ x > 2 \end{cases} $

Решением системы является $ 2 < x < 5 $.

Ответ: $ (2, 5) $.

4) Решить неравенство $ \ln x - \ln(2x - 5) \le \ln 2 - \ln(x - 3) $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 2x - 5 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{5}{2} \\ x > 3 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (3, +\infty) $.

Сгруппируем логарифмы:

$ \ln x + \ln(x - 3) \le \ln 2 + \ln(2x - 5) $

Применим свойства логарифмов:

$ \ln(x(x - 3)) \le \ln(2(2x - 5)) $

Основание натурального логарифма $ e \approx 2.718 > 1 $, поэтому функция $ \ln $ возрастающая. Знак неравенства сохраняется:

$ x(x - 3) \le 2(2x - 5) $

$ x^2 - 3x \le 4x - 10 $

$ x^2 - 7x + 10 \le 0 $

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 7x + 10 = 0 $. Корни по теореме Виета: $ x_1 = 2, x_2 = 5 $.

Ветви параболы $ y = x^2 - 7x + 10 $ направлены вверх, поэтому неравенство $ \le 0 $ выполняется между корнями и включая их: $ 2 \le x \le 5 $.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $ x > 3 $:

$ \begin{cases} 2 \le x \le 5 \\ x > 3 \end{cases} $

Решением системы является $ 3 < x \le 5 $.

Ответ: $ (3, 5] $.