Номер 7.97, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.97. Вычислите: $\left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 8}$.

Для вычисления значения выражения $(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}) \cdot 49^{\log_7 8}$ разобьем его на части и упростим каждую из них.

1. Упростим первое слагаемое в скобках: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$

Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}}$.

Вычислим числитель: $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$.

Вычислим знаменатель. Для этого представим $81$ как $9^2$ и воспользуемся свойствами степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$: $81^{\frac{1}{2}\log_9 4} = (9^2)^{\frac{1}{2}\log_9 4} = 9^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_9 4} = 9^{\log_9 4} = 4$.

Таким образом, значение первого слагаемого равно $\frac{3}{4}$.

2. Упростим второе слагаемое в скобках: $25^{\log_{125} 8}$

Приведем основания степени и логарифма к одному числу — 5, так как $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$: $25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 8}$.

Применим свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{5^3} 8 = \frac{1}{3}\log_5 8$.

Подставим это в выражение и используем свойства степеней и логарифмов $k \log_a b = \log_a b^k$ и $a^{\log_a b} = b$: $(5^2)^{\frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{\frac{2}{3}\log_5 8} = 5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}} = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Значение второго слагаемого равно 4.

3. Упростим множитель за скобками: $49^{\log_7 8}$

Представим $49$ как $7^2$ и воспользуемся свойствами $k \log_a b = \log_a b^k$ и $a^{\log_a b} = b$: $49^{\log_7 8} = (7^2)^{\log_7 8} = 7^{2\log_7 8} = 7^{\log_7 8^2} = 8^2 = 64$.

4. Вычислим итоговое значение выражения.

Подставим найденные значения в исходное выражение: $(\frac{3}{4} + 4) \cdot 64$.

Выполним сложение в скобках: $\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$.

Выполним умножение: $\frac{19}{4} \cdot 64 = 19 \cdot \frac{64}{4} = 19 \cdot 16 = 304$.

Ответ: 304