Номер 7.92, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.92. Решите неравенство:

1) $ (x-2)^{x^2-6x+8} > 1; $

2) $ |2^{4x^2-1} - 5| \le 3; $

3) $ (x^2+x+1)^{\frac{x+5}{x+2}} \ge (x^2+x+1)^3; $

4) $ (2^x+3 \cdot 2^{-x})^{2 \log_2 x - \log_2(x-6)} > 1. $

1) $(x-2)^{x^2-6x+8} > 1$

Данное показательно-степенное неравенство равносильно совокупности двух систем. Основание степени $x-2$ должно быть положительным, то есть $x-2>0 \implies x>2$.

Случай 1: Основание больше 1.

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2-6x+8 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем $x > 3$.

Решим второе неравенство: $x^2-6x+8 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2-6x+8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x > 3 \\ x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \end{cases}$.

Пересечением является интервал $x \in (4, \infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2-6x+8 < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем $2 < x < 3$.

Решим второе неравенство: $x^2-6x+8 < 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = 4$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in (2, 4)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x \in (2, 4) \end{cases}$.

Пересечением является интервал $x \in (2, 3)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях: $(4, \infty) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (4, \infty)$.

2) $|2^{4x^2-1} - 5| \le 3$

Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ (где $B>0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

$-3 \le 2^{4x^2-1} - 5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - 3 \le 2^{4x^2-1} \le 3 + 5$

$2 \le 2^{4x^2-1} \le 8$

Представим числа 2 и 8 в виде степени с основанием 2:

$2^1 \le 2^{4x^2-1} \le 2^3$

Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степени:

$1 \le 4x^2-1 \le 3$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1+1 \le 4x^2 \le 3+1$

$2 \le 4x^2 \le 4$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{1}{2} \le x^2 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 \ge \frac{1}{2} \\ x^2 \le 1 \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 \ge \frac{1}{2}$: $|x| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$, что дает $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

Решение второго неравенства $x^2 \le 1$: $|x| \le 1$, что дает $x \in [-1, 1]$.

Найдем пересечение этих множеств: $x \in ([-1, 1]) \cap ((-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty))$.

Решением является объединение отрезков: $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

3) $(x^2+x+1)^{\frac{x+5}{x+2}} \ge (x^2+x+1)^3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель показателя не должен быть равен нулю, $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Проанализируем основание степени $a(x) = x^2+x+1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2+x+1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.

$x^2+x+1 > 1 \implies x^2+x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

В этом случае знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{x+5}{x+2} \ge 3 \implies \frac{x+5}{x+2} - 3 \ge 0 \implies \frac{x+5-3(x+2)}{x+2} \ge 0 \implies \frac{-2x-1}{x+2} \ge 0 \implies \frac{2x+1}{x+2} \le 0$.

Методом интервалов получаем решение $x \in (-2, -1/2]$.

Пересекаем это решение с условием $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$: $(-2, -1/2] \cap ((-\infty, -1) \cup (0, \infty)) = (-2, -1)$.

Случай 2: Основание меньше 1 (но больше 0).

$0 < x^2+x+1 < 1 \implies x^2+x < 0 \implies x(x+1) < 0$. Это выполняется при $x \in (-1, 0)$.

В этом случае знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$\frac{x+5}{x+2} \le 3 \implies \frac{2x+1}{x+2} \ge 0$.

Методом интервалов получаем решение $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/2, \infty)$.

Пересекаем это решение с условием $x \in (-1, 0)$: $((-\infty, -2) \cup [-1/2, \infty)) \cap (-1, 0) = [-1/2, 0)$.

Случай 3: Основание равно 1.

$x^2+x+1 = 1 \implies x(x+1) = 0 \implies x=0$ или $x=-1$.

Если $x=0$: $1^{5/2} \ge 1^3 \implies 1 \ge 1$. Верно.

Если $x=-1$: $1^{4/1} \ge 1^3 \implies 1 \ge 1$. Верно.

Оба значения являются решениями.

Объединяем все полученные решения:

$(-2, -1) \cup [-1/2, 0) \cup \{-1\} \cup \{0\} = (-2, -1] \cup [-1/2, 0]$.

Ответ: $x \in (-2, -1] \cup [-1/2, 0]$.

4) $(2^x + 3 \cdot 2^{-x})^{2\log_2 x - \log_2(x^2-6)} > 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x^2-6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty) \end{cases}$.

Пересечением является $x \in (\sqrt{6}, \infty)$.

Упростим показатель степени, используя свойства логарифмов:

$2\log_2 x - \log_2(x^2-6) = \log_2(x^2) - \log_2(x^2-6) = \log_2\left(\frac{x^2}{x^2-6}\right)$.

Проанализируем основание степени $a(x) = 2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 2^x + \frac{3}{2^x}$.

По неравенству о средних (неравенство Коши) для положительных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ ($a+b \ge 2\sqrt{ab}$), имеем:

$2^x + \frac{3}{2^x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot \frac{3}{2^x}} = 2\sqrt{3}$.

Так как $2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464$, то $2\sqrt{3} > 1$. Следовательно, основание степени всегда больше 1.

Так как основание больше 1, данное неравенство равносильно тому, что показатель степени больше 0:

$\log_2\left(\frac{x^2}{x^2-6}\right) > 0$.

Представим 0 как $\log_2(1)$:

$\log_2\left(\frac{x^2}{x^2-6}\right) > \log_2(1)$.

Так как основание логарифма 2 больше 1, функция логарифма возрастающая, поэтому переходим к неравенству для аргументов:

$\frac{x^2}{x^2-6} > 1$.

$\frac{x^2}{x^2-6} - 1 > 0 \implies \frac{x^2 - (x^2-6)}{x^2-6} > 0 \implies \frac{6}{x^2-6} > 0$.

Так как числитель 6 положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также положителен:

$x^2-6 > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (\sqrt{6}, \infty)$:

$((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)) \cap (\sqrt{6}, \infty) = (\sqrt{6}, \infty)$.

Ответ: $x \in (\sqrt{6}, \infty)$.