Номер 7.94, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.94*. При каких значениях $\text{a}$ неравенство $x^2 - x \cdot 2^{a+2} - 2^{a+3} + 12 > 0$ выполняется для любых значений $\text{x}$?

Данное неравенство является квадратным относительно переменной $\text{x}$. Запишем его в стандартном виде $Ax^2 + Bx + C > 0$:

$x^2 - (2^{a+2})x + (12 - 2^{a+3}) > 0$

Здесь коэффициенты: $A = 1$, $B = -2^{a+2}$, $C = 12 - 2^{a+3}$.

Графиком функции $y = x^2 - (2^{a+2})x + (12 - 2^{a+3})$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $A=1 > 0$.

Для того чтобы неравенство выполнялось для любых значений $\text{x}$, необходимо и достаточно, чтобы парабола полностью лежала выше оси абсцисс. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $x^2 - (2^{a+2})x + (12 - 2^{a+3}) = 0$ не должно иметь действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательность дискриминанта $\text{D}$.

$D = B^2 - 4AC < 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2^{a+2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12 - 2^{a+3})$

$D = (2^{a+2})^2 - 4(12 - 2^{a+3}) = 2^{2(a+2)} - 48 + 4 \cdot 2^{a+3}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$D = 2^{2a+4} - 48 + 2^2 \cdot 2^{a+3} = 2^{2a+4} + 2^{a+5} - 48$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$2^{2a+4} + 2^{a+5} - 48 < 0$

Представим степени с одинаковым показателем $\text{a}$:

$2^4 \cdot 2^{2a} + 2^5 \cdot 2^a - 48 < 0$

$16 \cdot (2^a)^2 + 32 \cdot 2^a - 48 < 0$

Разделим все члены неравенства на 16:

$(2^a)^2 + 2 \cdot 2^a - 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^a$. Так как основание степени 2 положительно, то $t > 0$ для любого действительного $\text{a}$.

Получаем квадратное неравенство относительно $\text{t}$:

$t^2 + 2t - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $t^2 + 2t - 3 < 0$ выполняется между корнями:

$-3 < t < 1$

Теперь вернемся к замене, учитывая условие $t > 0$:

$ \begin{cases} -3 < t < 1 \\ t > 0 \end{cases} \implies 0 < t < 1 $

Подставим обратно $t = 2^a$:

$0 < 2^a < 1$

Неравенство $2^a > 0$ выполняется для всех действительных $\text{a}$. Остается решить неравенство:

$2^a < 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^a < 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$a < 0$

Таким образом, исходное неравенство выполняется для любых значений $\text{x}$ при $a < 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.