Номер 7.90, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.90. Решите неравенство:

1) $(\sqrt{5}-2)^x > 9-4\sqrt{5};$

2) $(\sqrt{5}+2)^x < 9-4\sqrt{5};$

3) $\frac{x^2-2}{2^x-3} < 0;$

4) $x \cdot 2^x > 8;$

5) $(2+\sqrt{3})^x < 7-4\sqrt{3};$

6) $\frac{x^2-3}{3^x-5} < 0;$

7) $x^3 \cdot 3x > \frac{\sqrt{3}}{8}.$

1) Исходное неравенство: $(\sqrt{5}-2)^x > 9-4\sqrt{5}$.

Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что $9-4\sqrt{5}$ является полным квадратом: $(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9-4\sqrt{5}$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $(\sqrt{5}-2)^x > (\sqrt{5}-2)^2$.

Оценим основание степени $a = \sqrt{5}-2$. Так как $4<5<9$, то $2<\sqrt{5}<3$. Отсюда следует, что $2-2 < \sqrt{5}-2 < 3-2$, то есть $0 < \sqrt{5}-2 < 1$.

Поскольку основание степени $\text{a}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Исходное неравенство: $(\sqrt{5}+2)^x < 9-4\sqrt{5}$.

Как было установлено в предыдущей задаче, $9-4\sqrt{5} = (\sqrt{5}-2)^2$.

Неравенство можно записать в виде: $(\sqrt{5}+2)^x < (\sqrt{5}-2)^2$.

Основания степеней в левой и правой частях различны. Установим связь между ними. Заметим, что выражения $\sqrt{5}+2$ и $\sqrt{5}-2$ являются сопряженными. Их произведение равно $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1$. Отсюда следует, что $\sqrt{5}-2 = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = (\sqrt{5}+2)^{-1}$.

Подставим это выражение в правую часть неравенства: $(\sqrt{5}+2)^x < ((\sqrt{5}+2)^{-1})^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $(\sqrt{5}+2)^x < (\sqrt{5}+2)^{-2}$.

Основание степени $a = \sqrt{5}+2$. Так как $\sqrt{5} > 2$, то $a > 4 > 1$. Поскольку основание больше 1, показательная функция является возрастающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется.

$x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2-2}{2^x-3} < 0$ методом интервалов.

Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нули числителя: $x^2-2=0 \implies x^2=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Нули знаменателя: $2^x-3=0 \implies 2^x=3 \implies x = \log_2 3$. (Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому эта точка будет выколота).

Расположим эти точки на числовой оси. Сравним $\sqrt{2}$ и $\log_2 3$. $\sqrt{2} \approx 1.414$. $\log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4$, то есть $1 < \log_2 3 < 2$. Поскольку $2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 < 3$, то $2^{\sqrt{2}} < 2^{\log_2 3}$, а так как функция $y=2^t$ возрастающая, то $\sqrt{2} < \log_2 3$.

Точки на оси в порядке возрастания: $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\log_2 3$. Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знак дроби на каждом интервале:

• Интервал $(-\infty; -\sqrt{2})$: Возьмем $x=-2$. $\frac{(-2)^2-2}{2^{-2}-3} = \frac{4-2}{1/4-3} = \frac{2}{-11/4} < 0$. Этот интервал является решением.
• Интервал $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$: Возьмем $x=0$. $\frac{0^2-2}{2^0-3} = \frac{-2}{1-3} = 1 > 0$. Этот интервал не является решением.
• Интервал $(\sqrt{2}; \log_2 3)$: Для $\text{x}$ из этого интервала $x^2>2$, т.е. $x^2-2>0$. Также $x<\log_2 3$, т.е. $2^x<3$ и $2^x-3<0$. Выражение имеет вид $\frac{+}{-}$, то есть оно отрицательно. Этот интервал является решением.
• Интервал $(\log_2 3; +\infty)$: Возьмем $x=2$. $\frac{2^2-2}{2^2-3} = \frac{2}{4-3} = 2 > 0$. Этот интервал не является решением.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \log_2 3)$.

4) Рассмотрим неравенство $x \cdot 2^x > 8$.

Это трансцендентное неравенство. Введем функцию $f(x) = x \cdot 2^x$ и решим неравенство $f(x) > 8$.

Легко заметить, что при $x=2$ левая часть обращается в 8: $f(2) = 2 \cdot 2^2 = 8$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (x)' \cdot 2^x + x \cdot (2^x)' = 1 \cdot 2^x + x \cdot 2^x \ln 2 = 2^x(1 + x \ln 2)$.

Поскольку $2^x > 0$ для всех $\text{x}$, знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $1 + x \ln 2$. Функция $f(x)$ возрастает, когда $1 + x \ln 2 > 0$, то есть при $x > -1/\ln 2$.

Так как $2 > 0 > -1/\ln 2$, то в точке $x=2$ и правее нее функция $f(x)$ строго возрастает.

Поскольку $f(2)=8$ и функция $f(x)$ строго возрастает для всех $x > 2$, то при $x>2$ будет выполняться $f(x) > f(2)$, то есть $x \cdot 2^x > 8$.

При $x<2$ (но $x>-1/\ln 2$) функция возрастает, поэтому $f(x)<f(2)=8$. При $x \le -1 \ln 2$ функция не возрастает, но можно показать, что других решений нет. Таким образом, единственное решение — это $f(x)<f(2)=8$

Ответ: $x \in (2; \infty)$.

5) Исходное неравенство: $(2+\sqrt{3})^x < 7-4\sqrt{3}$.

Преобразуем правую часть. Это полный квадрат: $(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7-4\sqrt{3}$.

Неравенство принимает вид: $(2+\sqrt{3})^x < (2-\sqrt{3})^2$.

Свяжем основания степеней: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1$. Отсюда $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим в неравенство: $(2+\sqrt{3})^x < ((2+\sqrt{3})^{-1})^2$, что равносильно $(2+\sqrt{3})^x < (2+\sqrt{3})^{-2}$.

Основание степени $a = 2+\sqrt{3} > 1$. Так как основание больше 1, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

6) Решим неравенство $\frac{x^2-3}{3^x-5} < 0$ методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2-3=0 \implies x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Нули знаменателя: $3^x-5=0 \implies 3^x=5 \implies x = \log_3 5$.

Расположим точки на оси. Сравним $\sqrt{3}$ и $\log_3 5$. $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $3^1=3$ и $3^2=9$, то $1 < \log_3 5 < 2$. Сравним $3^{\sqrt{3}}$ и $5=3^{\log_3 5}$. Так как $3^{1.5} = 3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196 > 5$, то $1.5 < \sqrt{3}$. А так как $3^{1.5}>5$, то $1.5 > \log_3 5$. Следовательно, $\sqrt{3} > \log_3 5$.

Точки на оси в порядке возрастания: $-\sqrt{3}$, $\log_3 5$, $\sqrt{3}$.

Определим знаки выражения на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -\sqrt{3})$: Возьмем $x=-2$. $\frac{(-2)^2-3}{3^{-2}-5} = \frac{1}{1/9-5} < 0$. Решение.
• Интервал $(-\sqrt{3}; \log_3 5)$: Возьмем $x=0$. $\frac{0-3}{3^0-5} = \frac{-3}{-4} > 0$. Не является решением.
• Интервал $(\log_3 5; \sqrt{3})$: Для $\text{x}$ из этого интервала $x < \sqrt{3} \implies x^2 < 3 \implies x^2-3 < 0$. И $x > \log_3 5 \implies 3^x > 5 \implies 3^x-5 > 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Решение.
• Интервал $(\sqrt{3}; \infty)$: Возьмем $x=2$. $\frac{2^2-3}{3^2-5} = \frac{1}{4} > 0$. Не является решением.

Объединяя интервалы, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\log_3 5; \sqrt{3})$.

7) Решим неравенство $x^3 \cdot 3^x > \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 \cdot 3^x$. Неравенство имеет вид $f(x) > \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Заметим, что правая часть $\frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3^{1/2}}{2^3}$. Это позволяет угадать корень уравнения $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{8}$. Проверим $x=1/2$.

$f(1/2) = (1/2)^3 \cdot 3^{1/2} = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Итак, $x=1/2$ является решением уравнения $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Неравенство можно переписать как $f(x) > f(1/2)$.

Исследуем поведение функции $f(x)$. Правая часть неравенства положительна. Левая часть $f(x) = x^3 \cdot 3^x$ положительна только при $x>0$ (так как $3^x$ всегда положителен). При $x \le 0$ имеем $x^3 \le 0$, поэтому $f(x) \le 0$, и неравенство $f(x) > \frac{\sqrt{3}}{8}$ выполняться не может. Таким образом, ищем решения только для $x>0$.

При $x>0$ функции $g(x)=x^3$ и $h(x)=3^x$ являются положительными и строго возрастающими. Их произведение $f(x)=g(x)h(x)$ также является строго возрастающей функцией на промежутке $(0; \infty)$.

Так как $f(x)$ строго возрастает при $x>0$, то неравенство $f(x) > f(1/2)$ равносильно неравенству $x > 1/2$.

Ответ: $x \in (1/2; \infty)$.