Номер 7.84, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.84. Решите показательное неравенство:

1) $(\frac{1}{3})^{-|x+2|} \ge 81;$

2) $(0,(4))^{x^2-1} > (0,(6))^{x^2+6};$

3) $(0,2)^{2+4+...+2x} > (0,2)^{72};$

4) $(\frac{3}{7})^{13x^2} < (\frac{3}{7})^{x^4+36} < (\frac{49}{9})^{-6x^2}.$

1) $(\frac{1}{3})^{-|x+2|} \ge 81$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Левая часть: $(\frac{1}{3})^{-|x+2|} = (3^{-1})^{-|x+2|} = 3^{|x+2|}$. Правая часть: $81 = 3^4$.

Получаем неравенство: $3^{|x+2|} \ge 3^4$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$|x+2| \ge 4$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x+2 \ge 4$ или $x+2 \le -4$.

Из первого неравенства получаем $x \ge 2$.

Из второго неравенства получаем $x \le -6$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

2) $(0,(4))^{x^2-1} > (0,(6))^{x^2+6}$

Преобразуем периодические десятичные дроби в обыкновенные: $0,(4) = \frac{4}{9}$ и $0,(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{4}{9})^{x^2-1} > (\frac{2}{3})^{x^2+6}$.

Приведем левую часть к основанию $\frac{2}{3}$: $(\frac{4}{9})^{x^2-1} = ((\frac{2}{3})^2)^{x^2-1} = (\frac{2}{3})^{2(x^2-1)} = (\frac{2}{3})^{2x^2-2}$.

Теперь неравенство выглядит так: $(\frac{2}{3})^{2x^2-2} > (\frac{2}{3})^{x^2+6}$.

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$2x^2 - 2 < x^2 + 6$.

$x^2 - 8 < 0$.

$x^2 < 8$.

Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{8} < x < \sqrt{8}$.

Упростим $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Получаем: $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

3) $(0,2)^{2+4+...+2x} > (0,2)^{72}$

Основание степени $0,2 < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$2+4+...+2x < 72$.

Показатель в левой части представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Вынесем 2 за скобки: $2(1+2+...+x)$. Сумма первых $\text{x}$ натуральных чисел равна $\frac{x(x+1)}{2}$.

Таким образом, показатель равен $2 \cdot \frac{x(x+1)}{2} = x^2+x$. Из вида суммы $2+4+...+2x$ следует, что $\text{x}$ является натуральным числом, т.е. $x \in \mathbb{N}$.

Получаем квадратное неравенство: $x^2 + x < 72$.

$x^2 + x - 72 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 72 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -9$ и $x_2 = 8$.

Решением неравенства $x^2 + x - 72 < 0$ является интервал $(-9, 8)$.

Учитывая, что $\text{x}$ должно быть натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), выбираем все целые положительные числа из этого интервала.

Ответ: $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

4) $(\frac{3}{7})^{13x^2} \le (\frac{3}{7})^{x^4+36} < (\frac{49}{9})^{-6x^2}$

Это двойное неравенство. Решим его как систему двух неравенств.

Первое неравенство: $(\frac{3}{7})^{13x^2} \le (\frac{3}{7})^{x^4+36}$.

Так как основание $0 < \frac{3}{7} < 1$, знак неравенства меняется:

$13x^2 \ge x^4+36$.

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$): $t^2 - 13t + 36 \le 0$.

Корни уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$ равны $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Решением неравенства для $\text{t}$ является отрезок $[4, 9]$, то есть $4 \le t \le 9$.

Возвращаемся к замене: $4 \le x^2 \le 9$. Это равносильно системе $\{_{x^2 \le 9}^{x^2 \ge 4}$.

Решение $x^2 \ge 4$ это $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Решение $x^2 \le 9$ это $x \in [-3, 3]$.

Пересечение этих множеств дает $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

Второе неравенство: $(\frac{3}{7})^{x^4+36} < (\frac{49}{9})^{-6x^2}$.

Преобразуем правую часть: $(\frac{49}{9})^{-6x^2} = ((\frac{7}{3})^2)^{-6x^2} = ((\frac{3}{7})^{-2})^{-6x^2} = (\frac{3}{7})^{12x^2}$.

Получаем $(\frac{3}{7})^{x^4+36} < (\frac{3}{7})^{12x^2}$.

Так как основание $0 < \frac{3}{7} < 1$, знак неравенства меняется:

$x^4+36 > 12x^2$.

$x^4 - 12x^2 + 36 > 0$.

$(x^2 - 6)^2 > 0$.

Квадрат выражения больше нуля, если само выражение не равно нулю: $x^2 - 6 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 6$.

Отсюда $x \neq \sqrt{6}$ и $x \neq -\sqrt{6}$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы должны из множества $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$ исключить точки $x = \sqrt{6}$ и $x = -\sqrt{6}$.

Так как $2 < \sqrt{6} < 3$ и $-3 < -\sqrt{6} < -2$, обе точки попадают в найденные отрезки.

Итоговое решение: $x \in [-3, -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}, -2] \cup [2, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}, -2] \cup [2, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3]$.