Номер 7.81, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.81. Решите неравенство графически:

1) $2^x \le 3 - x$;

2) $\left(\frac{1}{3}\right)^x \le 2x + 5$;

3) $\left(\frac{1}{4}\right)^x \ge 2x + 1$;

4) $3^x \le 4 - x$.

1) Для решения неравенства $2^x \leqslant 3 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x$.

Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция. Она является возрастающей на всей области определения. Её график проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2 = 3 - x$ — это линейная функция. Её график — прямая, которая является убывающей. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$; если $y=0$, то $x=3$. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $2^x = 3 - x$. Легко заметить, что при $x=1$ равенство выполняется: $2^1 = 2$ и $3 - 1 = 2$. Так как функция $y_1 = 2^x$ монотонно возрастает, а функция $y_2 = 3 - x$ монотонно убывает, то у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Решением неравенства $2^x \leqslant 3 - x$ будут те значения $\text{x}$, при которых график функции $y_1 = 2^x$ лежит не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y_2 = 3 - x$. Глядя на взаимное расположение графиков, видим, что это происходит при $x \leqslant 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

2) Для решения неравенства $(\frac{1}{3})^x \leqslant 2x + 5$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = 2x + 5$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция с основанием меньше 1. Она является убывающей на всей области определения. Её график проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2 = 2x + 5$ — это линейная функция. Её график — прямая, которая является возрастающей. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=5$; если $x=-1$, то $y=3$. Прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(-1, 3)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = 2x + 5$. Методом подбора находим, что при $x=-1$ равенство верное: $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ и $2(-1) + 5 = 3$. Так как функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает, а функция $y_2 = 2x + 5$ монотонно возрастает, точка пересечения единственная.

Решением неравенства $(\frac{1}{3})^x \leqslant 2x + 5$ будут те значения $\text{x}$, при которых график функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ лежит не выше графика функции $y_2 = 2x + 5$. Из графиков видно, что это условие выполняется при $x \geqslant -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

3) для решения неравенства $(\frac{1}{4})^x \geqslant 2x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = 2x + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — это показательная функция, убывающая, так как основание $1/4 < 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2 = 2x + 1$ — это линейная функция, возрастающая. Её график — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{4})^x = 2x + 1$. При $x=0$ получаем: $(\frac{1}{4})^0 = 1$ и $2(0) + 1 = 1$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(0, 1)$. В силу монотонности функций (одна убывает, другая возрастает) эта точка пересечения единственная.

Нам нужно найти значения $\text{x}$, при которых график функции $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика функции $y_2 = 2x + 1$. Анализируя положение графиков, мы видим, что это происходит для всех $\text{x}$ левее точки пересечения, включая саму точку. То есть, при $x \leqslant 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

4) для решения неравенства $3^x \leqslant 4 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция, возрастающая, так как основание $3 > 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2 = 4 - x$ — это линейная функция, убывающая. Её график — прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков из уравнения $3^x = 4 - x$. Подбором находим корень $x=1$: $3^1 = 3$ и $4 - 1 = 3$. Так как функция $y_1=3^x$ возрастает, а $y_2=4-x$ убывает, точка пересечения единственная.

Решением неравенства $3^x \leqslant 4 - x$ является множество значений $\text{x}$, для которых график $y_1 = 3^x$ находится не выше графика $y_2 = 4 - x$. Из взаимного расположения графиков следует, что это выполняется при $x \leqslant 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.