Номер 7.82, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.82. Решите неравенство, приведя обе его части к одному основанию:

1) $3^{-2x} < \sqrt{3};$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{2x}{3}} > 25;$

3) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-8x+1} > \sqrt{3};$

4) $2^{\frac{3x}{2}+3} < 16;$

5) $5^{\frac{x+1}{8}} \geq \frac{1}{\sqrt[8]{5}};$

6) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}.$

1) Решим неравенство $3^{-2x} < \sqrt{3}$.

Для решения необходимо привести обе части неравенства к одному основанию. В данном случае, к основанию 3. Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Теперь неравенство имеет вид:

$3^{-2x} < 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:

$-2x < \frac{1}{2}$.

Чтобы найти $\text{x}$, разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1/2}{-2}$

$x > -\frac{1}{4}$.

Решением неравенства является интервал $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} > 25$.

Приведем обе части к основанию 5. Преобразуем левую и правую части:

Левая часть: $(\frac{1}{5})^{-\frac{2x}{3}} = (5^{-1})^{-\frac{2x}{3}} = 5^{(-1) \cdot (-\frac{2x}{3})} = 5^{\frac{2x}{3}}$.

Правая часть: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид:

$5^{\frac{2x}{3}} > 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, функция является возрастающей. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$\frac{2x}{3} > 2$.

Умножим обе части на 3:

$2x > 6$.

Разделим обе части на 2:

$x > 3$.

Решением неравенства является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(\frac{1}{9})^{-8x+1} > \sqrt{3}$.

Приведем обе части к основанию 3. Преобразуем левую и правую части:

Левая часть: $(\frac{1}{9})^{-8x+1} = ((3^2)^{-1})^{-8x+1} = (3^{-2})^{-8x+1} = 3^{-2(-8x+1)} = 3^{16x-2}$.

Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{16x-2} > 3^{\frac{1}{2}}$.

Основание $3 > 1$, поэтому, сравнивая показатели, сохраняем знак неравенства:

$16x - 2 > \frac{1}{2}$.

Перенесем -2 в правую часть:

$16x > 2 + \frac{1}{2}$

$16x > \frac{5}{2}$.

Разделим обе части на 16:

$x > \frac{5}{2 \cdot 16}$

$x > \frac{5}{32}$.

Решением неравенства является интервал $(\frac{5}{32}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{32}; +\infty)$.

4) Решим неравенство $2^{\frac{3x}{2}+8} < 16$.

Приведем обе части к основанию 2. Правая часть: $16 = 2^4$.

Неравенство принимает вид:

$2^{\frac{3x}{2}+8} < 2^4$.

Основание $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$\frac{3x}{2} + 8 < 4$.

Перенесем 8 в правую часть:

$\frac{3x}{2} < 4 - 8$

$\frac{3x}{2} < -4$.

Умножим обе части на 2:

$3x < -8$.

Разделим обе части на 3:

$x < -\frac{8}{3}$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -\frac{8}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{8}{3})$.

5) Решим неравенство $5^{\frac{x+1}{8}} \ge \frac{1}{\sqrt[8]{5}}$.

Приведем обе части к основанию 5. Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{\sqrt[8]{5}} = \frac{1}{5^{1/8}} = 5^{-1/8}$.

Неравенство принимает вид:

$5^{\frac{x+1}{8}} \ge 5^{-\frac{1}{8}}$.

Основание $5 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$\frac{x+1}{8} \ge -\frac{1}{8}$.

Умножим обе части на 8:

$x+1 \ge -1$.

Перенесем 1 в правую часть:

$x \ge -1 - 1$

$x \ge -2$.

Решением неравенства является промежуток $[-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

6) Решим неравенство $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Преобразуем правую часть:

$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > (\frac{2}{3})^{-2}$.

Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньший показатель степени. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{4}{x} - 3 < -2$.

Отметим, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Решим полученное неравенство:

$\frac{4}{x} - 3 + 2 < 0$

$\frac{4}{x} - 1 < 0$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4-x}{x} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4-x=0 \implies x=4$

$x=0$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{4-x}{x}$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$: $\frac{4-(-1)}{-1} = -5 < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0; 4)$, например $x=1$: $\frac{4-1}{1} = 3 > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{4-5}{5} = -\frac{1}{5} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.