Номер 7.79, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.79. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{2^{x+1}-8}$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{0,2^{3x}-125}}$;

3) $y=\sqrt{x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{2^{x+1} - 8}$ задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$2^{x+1} - 8 \ge 0$

$2^{x+1} \ge 8$

Представим число 8 в виде степени с основанием 2:

$8 = 2^3$

Тогда неравенство примет вид:

$2^{x+1} \ge 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x+1 \ge 3$

$x \ge 3 - 1$

$x \ge 2$

Таким образом, область определения функции — это все числа $\text{x}$, большие или равные 2.

Ответ: $[2; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{0,2^{3x} - 125}}$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (больше нуля), так как на ноль делить нельзя и корень извлекается только из неотрицательного числа.

Решим неравенство:

$0,2^{3x} - 125 > 0$

$0,2^{3x} > 125$

Представим числа 0,2 и 125 в виде степеней с одним основанием, например 5:

$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в неравенство:

$(5^{-1})^{3x} > 5^3$

$5^{-3x} > 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-3x > 3$

Разделим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < \frac{3}{-3}$

$x < -1$

Таким образом, область определения функции — это все числа $\text{x}$, меньшие -1.

Ответ: $(-\infty; -1)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1}}$ задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1} \ge 0$

Преобразуем выражение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 4^x - 4^x \cdot 4^1 \ge 0$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x (x^2 - 4) \ge 0$

Поскольку показательная функция $4^x > 0$ для любого действительного значения $\text{x}$, мы можем разделить обе части неравенства на $4^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Его решением является объединение промежутков, где левая часть неотрицательна. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы $y=x^2-4$ направлены вверх, поэтому функция принимает неотрицательные значения при $x \le -2$ и $x \ge 2$.

Таким образом, область определения функции состоит из двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.