Номер 7.83, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.83. Решите неравенство:

1) $0.2^{ \frac{6x-1}{3-x} } < \left(\frac{1}{5}\right)^2$;

2) $\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} > \left(\frac{9}{49}\right)^{x+1.5}$;

3) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2+4x} \ge \left(\frac{8}{27}\right)^{x+2}$;

4) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x-1}{x+2}} \le 4$;

5) $\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{x}{4-x}} > 49$;

6) $\left(\frac{1}{27}\right)^{x^2+1} > \left(\frac{1}{9}\right)^{-x^2+8x}$.

1) $0,2^{\frac{6x-1}{3-x}} < \left(\frac{1}{5}\right)^2$

Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$. Неравенство примет вид:

$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{6x-1}{3-x}} < \left(\frac{1}{5}\right)^2$

Так как основание степени $\frac{1}{5}$ меньше 1 (но больше 0), при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6x-1}{3-x} > 2$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x-1}{3-x} - 2 > 0$

$\frac{6x-1 - 2(3-x)}{3-x} > 0$

$\frac{6x-1 - 6 + 2x}{3-x} > 0$

$\frac{8x-7}{3-x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$8x-7 = 0 \implies x = \frac{7}{8}$

$3-x = 0 \implies x = 3$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах.

Интервалы: $(-\infty; \frac{7}{8})$, $(\frac{7}{8}; 3)$, $(3; +\infty)$.

Знаки: ( - ), ( + ), ( - ).

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком "+".

Ответ: $(\frac{7}{8}; 3)$

2) $\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} > \left(\frac{9}{49}\right)^{x+1,5}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{3}{7}$, так как $\frac{9}{49} = \left(\frac{3}{7}\right)^2$.

$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} > \left(\left(\frac{3}{7}\right)^2\right)^{x+1,5}$

$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} > \left(\frac{3}{7}\right)^{2(x+1,5)}$

$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} > \left(\frac{3}{7}\right)^{2x+3}$

Основание степени $\frac{3}{7}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$x^2 < 2x+3$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-1; 3)$

3) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2+4x} \geq \left(\frac{8}{27}\right)^{x+2}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{2}{3}$, так как $\frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$.

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2+4x} \geq \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{x+2}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2+4x} \geq \left(\frac{2}{3}\right)^{3(x+2)}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2+4x} \geq \left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6}$

Основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$x^2+4x \leq 3x+6$

$x^2 + x - 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[-3; 2]$

4) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x-1}{x+2}} \leq 4$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{2}$. $4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x-1}{x+2}} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

Основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$\frac{x-1}{x+2} \geq -2$

$\frac{x-1}{x+2} + 2 \geq 0$

$\frac{x-1 + 2(x+2)}{x+2} \geq 0$

$\frac{x-1 + 2x + 4}{x+2} \geq 0$

$\frac{3x+3}{x+2} \geq 0 \implies \frac{x+1}{x+2} \geq 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = -2$.

Точка $x=-1$ включается в решение, точка $x=-2$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю).

Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$, $[-1; +\infty)$.

Знаки: ( + ), ( - ), ( + ).

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $(-\infty; -2) \cup [-1; +\infty)$

5) $\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{x}{4-x}} > 49$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{7}$. $49 = 7^2 = \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}$.

$\left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{x}{4-x}} > \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}$

Основание степени $\frac{1}{7}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$\frac{x}{4-x} < -2$

$\frac{x}{4-x} + 2 < 0$

$\frac{x + 2(4-x)}{4-x} < 0$

$\frac{x + 8 - 2x}{4-x} < 0$

$\frac{8-x}{4-x} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 8$ и $x = 4$.

Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 8)$, $(8; +\infty)$.

Знаки: ( + ), ( - ), ( + ).

Выбираем интервал со знаком "-".

Ответ: $(4; 8)$

6) $\left(\frac{1}{27}\right)^{x^2+1} > \left(\frac{1}{9}\right)^{-x^2+8x}$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$ и $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{x^2+1} > \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{-x^2+8x}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{3(x^2+1)} > \left(\frac{1}{3}\right)^{2(-x^2+8x)}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2+3} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2x^2+16x}$

Основание степени $\frac{1}{3}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$3x^2+3 < -2x^2+16x$

$5x^2 - 16x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.

$x_1 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y = 5x^2 - 16x + 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(\frac{1}{5}; 3)$