Номер 7.88, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.88. Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

1) $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3;$

2) $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{2x-3} < 0;$

3) $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}};$

4) $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}.$

1) Преобразуем неравенство $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$, приведя все степени к основанию 3.

$(3^2)^{x+1} - 3^x \cdot 3^3 < 3^x - 3$

$3^{2x+2} - 27 \cdot 3^x < 3^x - 3$

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 3 < 0$

Сделаем замену переменной $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9t^2 - 28t + 3 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$.

Так как ветви параболы $y=9t^2 - 28t + 3$ направлены вверх, решением неравенства является интервал между корнями: $\frac{1}{9} < t < 3$.

Вернемся к замене: $\frac{1}{9} < 3^x < 3$.

$3^{-2} < 3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 < x < 1$.

Наибольшее целое значение $\text{x}$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 0.

Ответ: 0

2) Рассмотрим неравенство $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{-2x-3} < 0$.

Преобразуем его:

$13 \cdot 2^x \cdot 2^4 - 208 \cdot 2^{-2x} \cdot 2^{-3} < 0$

$13 \cdot 16 \cdot 2^x - 208 \cdot \frac{1}{(2^x)^2} \cdot \frac{1}{8} < 0$

$208 \cdot 2^x - \frac{26}{(2^x)^2} < 0$

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$208t - \frac{26}{t^2} < 0$

Домножим неравенство на $t^2 > 0$, не меняя знака:

$208t^3 - 26 < 0$

$208t^3 < 26$

$t^3 < \frac{26}{208}$

$t^3 < \frac{1}{8}$

$t < \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене: $2^x < \frac{1}{2}$.

$2^x < 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, получаем $x < -1$.

Наибольшее целое значение $\text{x}$, удовлетворяющее этому условию, равно -2.

Ответ: -2

3) Решим неравенство $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$.

Заметим, что $3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$.

Сделаем замену $t = 3^{x-2}$, где $t > 0$.

$7t + \frac{20}{t} < \frac{41}{t}$

Домножим обе части на $t > 0$, не меняя знака неравенства:

$7t^2 + 20 < 41$

$7t^2 < 21$

$t^2 < 3$

Поскольку $t > 0$, то $0 < t < \sqrt{3}$.

Вернемся к замене: $3^{x-2} < \sqrt{3}$.

$3^{x-2} < 3^{1/2}$

Так как основание $3 > 1$, то $x-2 < \frac{1}{2}$.

$x < 2 + \frac{1}{2}$

$x < 2.5$

Наибольшее целое значение $\text{x}$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 2.

Ответ: 2

4) Рассмотрим неравенство $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

Преобразуем $8 \cdot 6^{-x}$ в $\frac{8}{6^x}$.

$\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > \frac{8}{6^x}$

Сделаем замену $t = 6^x$, где $t > 0$.

$\frac{440}{t} - 2t > \frac{8}{t}$

Домножим неравенство на $t > 0$, не меняя знака:

$440 - 2t^2 > 8$

$432 > 2t^2$

$216 > t^2$

$t^2 < 216$

Так как $t > 0$, то $0 < t < \sqrt{216}$.

Вернемся к замене: $6^x < \sqrt{216}$.

Поскольку $216 = 6^3$, то $\sqrt{216} = (6^3)^{1/2} = 6^{3/2}$.

$6^x < 6^{3/2}$

Так как основание $6 > 1$, то $x < \frac{3}{2}$.

$x < 1.5$

Наибольшее целое значение $\text{x}$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 1.

Ответ: 1