Номер 7.95, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.95. Упростите выражения:

1) $ \left( \left(\sqrt{a}+1\right)^2 - \frac{2a - 2\sqrt{ax}}{\sqrt{a} - \sqrt{x}} - 1 \right)^{-3} $

2) $ \left( \frac{4a - 9a^{-1}}{2a^{\frac{1}{2}} - 3a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{a - 4 + 3a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} \right)^2 $

1)

Упростим выражение по действиям, начиная с выражений во внутренних скобках. Исходное выражение: $\left[\left((\sqrt{a}+1)^2 - \frac{2a-2\sqrt{ax}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}\right) - 1\right]^{-3}$.

1. Раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$.

2. Упростим дробь. Вынесем в числителе общий множитель $2\sqrt{a}$ за скобки: $\frac{2a-2\sqrt{ax}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{x})}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}$.

При условии, что $\sqrt{a} - \sqrt{x} \neq 0$, можно сократить дробь: $2\sqrt{a}$.

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение внутри квадратных скобок: $(a + 2\sqrt{a} + 1) - 2\sqrt{a} - 1$.

4. Приведем подобные слагаемые: $a + (2\sqrt{a} - 2\sqrt{a}) + (1 - 1) = a$.

5. Теперь возведем полученный результат в степень -3: $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

Ответ: $\frac{1}{a^3}$.

2)

Упростим выражение в больших скобках, работая с каждой дробью по отдельности. Исходное выражение: $\left(\frac{4a-9a^{-1}}{2a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{a-4+3a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}\right)^2$.

1. Упростим первую дробь: $\frac{4a-9a^{-1}}{2a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}}}$.

Числитель $4a-9a^{-1}$ является разностью квадратов, так как $4a=(2a^{\frac{1}{2}})^2$ и $9a^{-1}=(3a^{-\frac{1}{2}})^2$.

Раскладываем числитель: $4a-9a^{-1} = (2a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}})(2a^{\frac{1}{2}}+3a^{-\frac{1}{2}})$.

Теперь сокращаем дробь: $\frac{(2a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}})(2a^{\frac{1}{2}}+3a^{-\frac{1}{2}})}{2a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}}} = 2a^{\frac{1}{2}}+3a^{-\frac{1}{2}}$.

2. Упростим вторую дробь: $\frac{a-4+3a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}$.

Разложим числитель $a-4+3a^{-1}$ на множители. Его можно представить в виде произведения $(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}})$.

Проверим это, раскрыв скобки: $(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}}) = a - 3a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}} = a - 3a^0 - a^0 + 3a^{-1} = a - 3 - 1 + 3a^{-1} = a - 4 + 3a^{-1}$.

Разложение верно. Теперь сокращаем вторую дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}}$.

3. Сложим результаты упрощения двух дробей: $(2a^{\frac{1}{2}}+3a^{-\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{2}}-3a^{-\frac{1}{2}})$.

Приводим подобные слагаемые: $2a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{1}{2}} - 3a^{-\frac{1}{2}} = 3a^{\frac{1}{2}}$.

4. Возведем полученное выражение в квадрат: $(3a^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 = 9a$.

Ответ: $9a$.