Вопросы, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте свойства логарифмической функции.

2. Нужно ли менять знак логарифмического неравенства в зависимости от основания логарифма?

1. Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где основание $\text{a}$ — положительное число, не равное единице ($a > 0$, $a \neq 1$).

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения: множество всех положительных действительных чисел, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений: множество всех действительных чисел, т.е. $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Пересечение с осями координат: график функции пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(1; 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $\text{a}$. График не пересекает ось ординат (Oy), асимптотически приближаясь к ней.

4. Монотонность:

- Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 > \log_a x_1$.

- Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$.

5. Промежутки знакопостоянства:

- При $a > 1$: функция положительна ($y>0$) при $x \in (1; +\infty)$ и отрицательна ($y<0$) при $x \in (0; 1)$.

- При $0 < a < 1$: функция положительна ($y>0$) при $x \in (0; 1)$ и отрицательна ($y<0$) при $x \in (1; +\infty)$.

6. Четность и непрерывность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения несимметрична относительно нуля. Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ включают: область определения $(0; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$, прохождение через точку $(1; 0)$, возрастание при $a>1$ и убывание при $0<a<1$, знакопостоянство, зависящее от $\text{a}$, непрерывность и отсутствие симметрии (четности нечетности).$0<a<1$

2. Да, при решении логарифмических неравенств нужно учитывать основание логарифма, и в одном из случаев знак неравенства меняется на противоположный. Это правило вытекает из свойства монотонности логарифмической функции.

Рассмотрим общее логарифмическое неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Переход от этого неравенства к неравенству для подлогарифмических выражений $f(x)$ и $g(x)$ зависит от значения основания $\text{a}$.

Случай 1: Основание больше единицы ($a > 1$)

В этом случае логарифмическая функция $y=\log_a x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому знак неравенства сохраняется. Решение сводится к системе:

$\log_a f(x) > \log_a g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

(Условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, поскольку из системы следует $f(x) > g(x) > 0$).

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$)

В этом случае логарифмическая функция $y=\log_a x$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Решение сводится к системе:

$\log_a f(x) > \log_a g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

(Условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически, поскольку из системы следует $g(x) > f(x) > 0$).

Ответ: Да, знак логарифмического неравенства нужно менять на противоположный, если основание логарифма $\text{a}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Если основание $a > 1$, знак неравенства сохраняется.