Номер 7.96, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.96. Постройте график функции $y = \ln|x + 2|$.

Для построения графика функции $y = \ln|x+2|$ выполним последовательность преобразований, исходя из графика базовой логарифмической функции.

Построение с помощью преобразований

Сначала построим график базовой функции $y_1 = \ln x$. Это известная возрастающая кривая, которая определена для $x > 0$, проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось ординат).

Далее построим график функции $y_2 = \ln(x+2)$. Этот график получается из графика $y_1 = \ln x$ путем его сдвига на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). В результате сдвига вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-2$. График $y_2$ пересекает ось Ox в точке, где $x+2=1$, то есть в $x=-1$. Эта часть графика определена при $x > -2$.

Наконец, построим искомый график $y = \ln|x+2|$. Наличие модуля означает, что аргумент логарифма всегда положителен (кроме точки $x=-2$). Функцию можно записать в виде системы: $y = \begin{cases} \ln(x+2), & \text{если } x > -2 \\ \ln(-(x+2)), & \text{если } x < -2 \end{cases}$. Это говорит о том, что для $x > -2$ график $y=\ln|x+2|$ совпадает с построенным ранее графиком $y=\ln(x+2)$. Часть графика для $x < -2$ является зеркальным отражением части графика для $x > -2$ относительно оси симметрии, которой является прямая $x=-2$.

Анализ свойств функции

Для более точного построения и понимания графика проанализируем его ключевые свойства. Область определения: аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен, то есть $|x+2|>0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $\text{x}$, за исключением $x=-2$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.

Вертикальная асимптота: когда $\text{x}$ стремится к $-2$ (как справа, так и слева), выражение $|x+2|$ стремится к $0^+$. Логарифм числа, стремящегося к нулю, стремится к $-\infty$. Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой графика.

Точки пересечения с осями координат: для нахождения точек пересечения с осью Ox (осью абсцисс) решим уравнение $y=0$. $\ln|x+2| = 0 \implies |x+2| = e^0 = 1$. Раскрывая модуль, получаем два уравнения: $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$. Из первого уравнения находим $x = -1$, из второго — $x = -3$. Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$. Для нахождения точки пересечения с осью Oy (осью ординат) подставим $x=0$: $y = \ln|0+2| = \ln 2$. Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, \ln 2)$.

Симметрия: поскольку функция имеет вид $y=f(|x-a|)$ с $a=-2$, ее график симметричен относительно вертикальной прямой $x=-2$.

Ответ: График функции $y = \ln|x+2|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной прямой $x=-2$. Эта прямая является вертикальной асимптотой, к которой обе ветви графика стремятся вниз (к $-\infty$). График пересекает ось абсцисс в точках с координатами $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$, а ось ординат — в точке $(0, \ln 2)$. При $x \to \infty$ и $x \to -\infty$, значение функции $\text{y}$ стремится к $+\infty$.