Номер 7.100, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.100. Решите простейшее логарифмическое неравенство:

1) $\log_2(2x - 1) > \log_2(x + 1)$;

2) $\log_5(3x + 1) > \log_5(x - 2)$;

3) $\log_{0.2}(x - 2) < \log_{0.2}(3 - x)$;

4) $\log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \geq -2$.

1) Дано неравенство $\log_2(2x - 1) > \log_2(x + 1)$.

Основание логарифма $a=2$, что больше 1 ($2 > 1$), поэтому логарифмическая функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \\ x + 1 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1) $2x - 1 > x + 1 \implies 2x - x > 1 + 1 \implies x > 2$.

2) $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

3) $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5$.

Теперь найдем пересечение решений: $x > 2$, $x > -1$ и $x > 0.5$. Общим решением для всех трех условий является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

2) Дано неравенство $\log_5(3x + 1) > \log_5(x - 2)$.

Основание логарифма $a=5$, что больше 1 ($5 > 1$), поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Неравенство равносильно системе, учитывающей ОДЗ:

$\begin{cases} 3x + 1 > x - 2 \\ x - 2 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $3x + 1 > x - 2 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

3) $3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$.

Найдем пересечение полученных решений: $x > -1.5$, $x > 2$ и $x > -1/3$. Самое сильное из этих условий — $x > 2$. Оно удовлетворяет и двум другим.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

3) Дано неравенство $\log_{0.2}(x - 2) < \log_{0.2}(3 - x)$.

Основание логарифма $a=0.2$, что находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2 > 3 - x \\ x - 2 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x - 2 > 3 - x \implies 2x > 5 \implies x > 2.5$.

2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

3) $3 - x > 0 \implies x < 3$.

Найдем пересечение решений $x > 2.5$, $x > 2$ и $x < 3$. Общим решением является интервал от 2.5 до 3.

Ответ: $x \in (2.5, 3)$.

4) Дано неравенство $\log_{1/7}(12 - x) \ge -2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

$12 - x > 0 \implies x < 12$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $1/7$:

$-2 = -2 \cdot 1 = -2 \cdot \log_{1/7}(1/7) = \log_{1/7}((1/7)^{-2}) = \log_{1/7}(7^2) = \log_{1/7}(49)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\log_{1/7}(12 - x) \ge \log_{1/7}(49)$.

Основание логарифма $a=1/7$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$12 - x \le 49$.

Решим это неравенство:

$-x \le 49 - 12 \implies -x \le 37 \implies x \ge -37$.

Для получения окончательного ответа необходимо учесть ОДЗ ($x < 12$). Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x \ge -37 \\ x < 12 \end{cases}$

Решением системы является промежуток $[-37, 12)$.

Ответ: $x \in [-37, 12)$.