Номер 7.106, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.106. Решите логарифмическое неравенство:

1) $2^{\log_2 \frac{x-1}{3x+3}} \le \frac{1}{4}$;

2) $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$;

3) $(5x + 1)\lg(4 - x) \le 0$;

4) $(3 - x)\lg(2x - 1) \ge 0$.

1) $2^{\log_7 \frac{x-1}{3x+3}} \le \frac{1}{4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x-1}{3x+3} > 0$

$\frac{x-1}{3(x+1)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-1$.

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.

Проверяя знаки на интервалах, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$2^{\log_7 \frac{x-1}{3x+3}} \le 2^{-2}$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^t$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\log_7 \frac{x-1}{3x+3} \le -2$

Представим -2 в виде логарифма по основанию 7:

$-2 = \log_7 7^{-2} = \log_7 \frac{1}{49}$

Получаем:

$\log_7 \frac{x-1}{3x+3} \le \log_7 \frac{1}{49}$

Так как основание логарифма $7 > 1$, функция $y=\log_7 t$ возрастающая, поэтому переходим к неравенству для аргументов, сохранив знак:

$\frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{49}$

Объединим это неравенство с ОДЗ. Получим систему, которую можно записать в виде двойного неравенства:

$0 < \frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{49}$

Решим правую часть неравенства:

$\frac{x-1}{3(x+1)} - \frac{1}{49} \le 0$

$\frac{49(x-1) - 3(x+1)}{147(x+1)} \le 0$

$\frac{49x - 49 - 3x - 3}{147(x+1)} \le 0$

$\frac{46x - 52}{147(x+1)} \le 0$

$\frac{23x - 26}{x+1} \le 0$

Решая методом интервалов, получаем $x \in (-1; \frac{26}{23}]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Пересечением множеств $(-1; \frac{26}{23}]$ и $((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$ является интервал $(1; \frac{26}{23}]$.

Ответ: $x \in (1; \frac{26}{23}]$.

2) $3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$\frac{x-1}{x+1} > 0$

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$3^{\log_3 \frac{x-1}{x+1}} < 3^{-2}$

Так как основание степени $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$\log_3 \frac{x-1}{x+1} < -2$

Представим -2 как логарифм по основанию 3:

$-2 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9}$

Получаем:

$\log_3 \frac{x-1}{x+1} < \log_3 \frac{1}{9}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, переходим к неравенству для аргументов:

$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{9}$

С учетом ОДЗ, получаем систему:

$0 < \frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{9}$

Решим правую часть:

$\frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{9} < 0$

$\frac{9(x-1) - (x+1)}{9(x+1)} < 0$

$\frac{9x - 9 - x - 1}{9(x+1)} < 0$

$\frac{8x - 10}{9(x+1)} < 0$

$\frac{4x - 5}{x+1} < 0$

Решая методом интервалов, получаем $x \in (-1; \frac{5}{4})$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Пересечением множеств $(-1; \frac{5}{4})$ и $((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$ является интервал $(1; \frac{5}{4})$.

Ответ: $x \in (1; \frac{5}{4})$.

3) $(5x + 1)\lg(4 - x) \le 0$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$4 - x > 0 \implies x < 4$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 4)$.

Решим неравенство методом интервалов. Произведение двух множителей меньше либо равно нулю. Найдем нули каждого множителя:

1) $5x + 1 = 0 \implies x = -1/5$.

2) $\lg(4-x) = 0 \implies 4-x = 10^0 \implies 4-x=1 \implies x = 3$.

Отметим точки $-1/5$ и $\text{3}$ на числовой оси и учтем ОДЗ ($x<4$). Получим интервалы для анализа: $(-\infty; -1/5)$, $(-1/5; 3)$, $(3; 4)$.

- При $x \in (-\infty; -1/5)$, например $x=-1$:

$5x+1 = 5(-1)+1 = -4 < 0$

$\lg(4-x) = \lg(4-(-1)) = \lg(5) > 0$

Произведение $(-)(+) = (-)$, что удовлетворяет знаку $\le 0$. Интервал подходит.

- При $x \in (-1/5; 3)$, например $x=0$:

$5x+1 = 5(0)+1 = 1 > 0$

$\lg(4-x) = \lg(4-0) = \lg(4) > 0$

Произведение $(+)(+) = (+)$, что не удовлетворяет знаку $\le 0$. Интервал не подходит.

- При $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$:

$5x+1 = 5(3.5)+1 = 18.5 > 0$

$\lg(4-x) = \lg(4-3.5) = \lg(0.5) < 0$

Произведение $(+)(-) = (-)$, что удовлетворяет знаку $\le 0$. Интервал подходит.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), то точки, в которых множители равны нулю ($x=-1/5$ и $x=3$), включаются в решение.

Объединяя полученные результаты, получаем решение: $x \in (-\infty; -1/5] \cup [3; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [3; 4)$.

4) $(3 - x)\lg(2x - 1) \ge 0$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$.

ОДЗ: $x \in (1/2; +\infty)$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого множителя:

1) $3 - x = 0 \implies x = 3$.

2) $\lg(2x-1) = 0 \implies 2x-1 = 10^0 \implies 2x-1=1 \implies x = 1$.

Отметим точки $\text{1}$ и $\text{3}$ на числовой оси и учтем ОДЗ ($x > 1/2$). Получим интервалы для анализа: $(1/2; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

- При $x \in (1/2; 1)$, например $x=0.75$:

$3-x = 3-0.75 = 2.25 > 0$

$\lg(2x-1) = \lg(2(0.75)-1) = \lg(0.5) < 0$

Произведение $(+)(-) = (-)$, что не удовлетворяет знаку $\ge 0$. Интервал не подходит.

- При $x \in (1; 3)$, например $x=2$:

$3-x = 3-2 = 1 > 0$

$\lg(2x-1) = \lg(2(2)-1) = \lg(3) > 0$

Произведение $(+)(+) = (+)$, что удовлетворяет знаку $\ge 0$. Интервал подходит.

- При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$:

$3-x = 3-4 = -1 < 0$

$\lg(2x-1) = \lg(2(4)-1) = \lg(7) > 0$

Произведение $(-)(+) = (-)$, что не удовлетворяет знаку $\ge 0$. Интервал не подходит.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), то точки, в которых множители равны нулю ($x=1$ и $x=3$), включаются в решение.

Объединяя полученные результаты, получаем решение: $x \in [1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.