Номер 7.112, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.112. Найдите область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 \ln x - \ln x^4}}$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 \ln x - \ln x^4}}$ необходимо учесть несколько условий.

1. Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. В функции присутствуют $\ln x$ и $\ln x^4$. Для $\ln x$ требуется, чтобы $x > 0$. Для $\ln x^4$ требуется, чтобы $x^4 > 0$, что выполняется для всех $x \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что $x > 0$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Так как корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго положительным. Следовательно, должно выполняться неравенство: $x^2 \ln x - \ln x^4 > 0$

Преобразуем это неравенство, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$: $x^2 \ln x - 4 \ln x > 0$

Вынесем общий множитель $\ln x$ за скобки: $\ln x (x^2 - 4) > 0$

Это неравенство можно решить методом интервалов. Найдем точки, в которых каждый из множителей равен нулю или не существует. Мы уже знаем, что $x>0$. Первый множитель $\ln x = 0$ при $x = 1$. Второй множитель $x^2 - 4 = 0$ при $x = 2$ (так как $x>0$).

Эти точки разбивают положительную числовую ось на три интервала: $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знаки множителей на каждом интервале.

- На интервале $(0, 1)$: $\ln x < 0$ и $x^2 - 4 < 0$. Произведение $(\ln x)(x^2 - 4)$ будет положительным (минус на минус дает плюс). Значит, этот интервал является частью решения.

- На интервале $(1, 2)$: $\ln x > 0$ и $x^2 - 4 < 0$. Произведение $(\ln x)(x^2 - 4)$ будет отрицательным (плюс на минус дает минус). Этот интервал не является частью решения.

- На интервале $(2, +\infty)$: $\ln x > 0$ и $x^2 - 4 > 0$. Произведение $(\ln x)(x^2 - 4)$ будет положительным (плюс на плюс дает плюс). Значит, этот интервал также является частью решения.

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; +\infty)$.