Номер 7.115, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.115. Решите неравенство:

1) $\log_2 \left(1+\log_{\frac{1}{9}} x - \log_9 x\right) < 1$;

2) $\log_2^2 (x-1)^2 - \log_{0.5} (x-1) > 5$;

3) $\log_{0.5} (\log_2 \log_{x-1} 9) > 0$;

4) $\log_2 \left(\log_{\frac{1}{3}} \log_{\frac{1}{3}} x\right) > 0$.

1)

Решим неравенство $ \log_2(1 + \log_{\frac{1}{9}} x - \log_3 x) < 1 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $ x > 0 $.

Также аргумент внешнего логарифма должен быть положительным: $ 1 + \log_{\frac{1}{9}} x - \log_3 x > 0 $.

2. Преобразуем логарифмы к одному основанию 3.

Используем формулу смены основания: $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.

$ \log_{\frac{1}{9}} x = \log_{3^{-2}} x = -\frac{1}{2} \log_3 x $.

3. Подставим преобразованное выражение в неравенство для ОДЗ:

$ 1 - \frac{1}{2} \log_3 x - \log_3 x > 0 $

$ 1 - \frac{3}{2} \log_3 x > 0 $

$ 1 > \frac{3}{2} \log_3 x $

$ \frac{2}{3} > \log_3 x $, или $ \log_3 x < \frac{2}{3} $.

Потенцируя, получаем $ x < 3^{\frac{2}{3}} $.

С учетом условия $ x > 0 $, ОДЗ: $ 0 < x < 3^{\frac{2}{3}} $.

4. Решим исходное неравенство.

$ \log_2(1 - \frac{3}{2} \log_3 x) < 1 $

Так как основание логарифма 2 > 1, знак неравенства сохраняется:

$ 1 - \frac{3}{2} \log_3 x < 2^1 $

$ 1 - \frac{3}{2} \log_3 x < 2 $

$ - \frac{3}{2} \log_3 x < 1 $

Умножим на -2/3, изменив знак неравенства:

$ \log_3 x > -\frac{2}{3} $

Потенцируя, получаем $ x > 3^{-\frac{2}{3}} $.

5. Объединим полученное решение с ОДЗ.

Система неравенств:

$ \begin{cases} 0 < x < 3^{\frac{2}{3}} \\ x > 3^{-\frac{2}{3}} \end{cases} $

Пересечение этих множеств: $ 3^{-\frac{2}{3}} < x < 3^{\frac{2}{3}} $.

Это можно записать как $ \frac{1}{\sqrt[3]{9}} < x < \sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ (3^{-\frac{2}{3}}; 3^{\frac{2}{3}}) $.

2)

Решим неравенство $ \log_2^2(x-1)^2 - \log_{0.5}(x-1) > 5 $.

1. Найдем ОДЗ.

$ (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1 $.

$ x-1 > 0 \implies x > 1 $.

Объединяя, получаем ОДЗ: $ x > 1 $.

2. Преобразуем логарифмы к основанию 2.

$ \log_2 (x-1)^2 = 2 \log_2 |x-1| $. Так как по ОДЗ $ x > 1 $, то $ x-1 > 0 $, и $ |x-1| = x-1 $.

Следовательно, $ \log_2 (x-1)^2 = 2 \log_2 (x-1) $.

Первый член неравенства: $ \log_2^2(x-1)^2 = (2 \log_2 (x-1))^2 = 4 \log_2^2(x-1) $.

$ \log_{0.5}(x-1) = \log_{2^{-1}}(x-1) = -\log_2(x-1) $.

3. Подставим в исходное неравенство:

$ 4 \log_2^2(x-1) - (-\log_2(x-1)) > 5 $

$ 4 \log_2^2(x-1) + \log_2(x-1) - 5 > 0 $.

4. Сделаем замену. Пусть $ t = \log_2(x-1) $.

$ 4t^2 + t - 5 > 0 $.

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ 4t^2 + t - 5 = 0 $.

Дискриминант $ D = 1^2 - 4(4)(-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $.

$ t_1 = \frac{-1-9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} $

$ t_2 = \frac{-1+9}{8} = \frac{8}{8} = 1 $

Так как парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $ t < -\frac{5}{4} $ или $ t > 1 $.

6. Вернемся к переменной $ x $.

Случай 1: $ \log_2(x-1) < -\frac{5}{4} $.

$ x-1 < 2^{-\frac{5}{4}} \implies x < 1 + 2^{-\frac{5}{4}} $.

С учетом ОДЗ $ x > 1 $, получаем $ 1 < x < 1 + 2^{-\frac{5}{4}} $.

Случай 2: $ \log_2(x-1) > 1 $.

$ x-1 > 2^1 \implies x-1 > 2 \implies x > 3 $.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

7. Объединяем решения из двух случаев.

$ x \in (1; 1 + 2^{-\frac{5}{4}}) \cup (3; +\infty) $.

Ответ: $ (1; 1 + 2^{-\frac{5}{4}}) \cup (3; +\infty) $.

3)

Решим неравенство $ \log_{0.5}(\log_2(\log_{x-1} 9)) > 0 $.

1. Найдем ОДЗ. Это система условий для вложенных логарифмов:

a) Основание внутреннего логарифма: $ x-1 > 0 $ и $ x-1 \neq 1 $, что дает $ x > 1 $ и $ x \neq 2 $.
b) Аргумент среднего логарифма: $ \log_{x-1} 9 > 0 $. Так как $ 9 > 1 $, это неравенство выполняется, когда основание $ x-1 > 1 $, то есть $ x > 2 $. Если $ 0 < x-1 < 1 $, то $ \log_{x-1} 9 < 0 $, что не подходит. Итак, $ x > 2 $.
c) Аргумент внешнего логарифма: $ \log_2(\log_{x-1} 9) > 0 $. Так как основание 2 > 1, это эквивалентно $ \log_{x-1} 9 > 2^0 = 1 $. Так как из п. b) мы знаем, что $ x > 2 $, основание $ x-1 > 1 $, и функция $ \log_{x-1} $ возрастающая. Тогда $ \log_{x-1} 9 > \log_{x-1} (x-1)^1 \implies 9 > x-1 \implies x < 10 $.

Итак, ОДЗ: $ 2 < x < 10 $.

2. Решим исходное неравенство.

$ \log_{0.5}(\log_2(\log_{x-1} 9)) > 0 $

Основание 0.5 < 1, поэтому знак неравенства меняется:

$ 0 < \log_2(\log_{x-1} 9) < (0.5)^0 = 1 $.

Неравенство $ \log_2(\log_{x-1} 9) > 0 $ уже было решено при нахождении ОДЗ, оно дает $ 2 < x < 10 $.

3. Осталось решить $ \log_2(\log_{x-1} 9) < 1 $.

Основание 2 > 1, знак сохраняется:

$ \log_{x-1} 9 < 2^1 = 2 $.

4. На ОДЗ ($ 2 < x < 10 $) основание $ x-1 > 1 $, поэтому функция $ \log_{x-1} $ возрастающая. Знак неравенства сохраняется при потенцировании:

$ \log_{x-1} 9 < \log_{x-1} (x-1)^2 $

$ 9 < (x-1)^2 $

$ (x-1)^2 - 9 > 0 $

$ (x-1-3)(x-1+3) > 0 $

$ (x-4)(x+2) > 0 $

Решением этого неравенства является $ x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) $.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $ 2 < x < 10 $.

$ ((-\infty; -2) \cup (4; +\infty)) \cap (2; 10) = (4; 10) $.

Ответ: $ (4; 10) $.

4)

Решим неравенство $ \log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x)) > 0 $.

1. Найдем ОДЗ.

a) $ x > 0 $.
b) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x > 0 $. Основание $ \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 $, поэтому $ 0 < x < (\frac{1}{\sqrt{3}})^0 \implies 0 < x < 1 $.
c) $ \log_{\frac{1}{3}}(\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x) > 0 $. Основание $ \frac{1}{3} < 1 $, поэтому $ 0 < \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < (\frac{1}{3})^0 = 1 $. Из $ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x > 0 $ следует $ x < 1 $. Из $ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < 1 $ следует $ x > (\frac{1}{\sqrt{3}})^1 = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Итак, ОДЗ: $ \frac{1}{\sqrt{3}} < x < 1 $.

2. Решим исходное неравенство.

$ \log_2(\log_{\frac{1}{3}}(\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x)) > 0 $

Основание 2 > 1, знак сохраняется:

$ \log_{\frac{1}{3}}(\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x) > 2^0 = 1 $.

3. Продолжим решение.

Основание $ \frac{1}{3} < 1 $, знак меняется:

$ 0 < \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3} $.

4. Решим двойное неравенство.

$ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x > 0 $ дает $ x < 1 $.

$ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < \frac{1}{3} $. Основание $ \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 $, знак меняется:

$ x > (\frac{1}{\sqrt{3}})^{\frac{1}{3}} = (3^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{6}} $.

5. Получили решение $ 3^{-\frac{1}{6}} < x < 1 $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($ \frac{1}{\sqrt{3}} < x < 1 $).

Сравним $ 3^{-\frac{1}{6}} $ и $ \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}} $.

Так как $ -\frac{1}{6} > -\frac{1}{2} $, то $ 3^{-\frac{1}{6}} > 3^{-\frac{1}{2}} $.

Следовательно, пересечением интервалов $ (3^{-\frac{1}{6}}; 1) $ и $ (3^{-\frac{1}{2}}; 1) $ является интервал $ (3^{-\frac{1}{6}}; 1) $.

Ответ: $ (3^{-\frac{1}{6}}; 1) $.