Номер 7.122, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.122. Докажите неравенство $\ln \frac{n+1}{2} > \frac{\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \dots + \ln n}{n}$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Йенсена для вогнутой функции. Отметим, что рассматриваемое неравенство имеет смысл для натуральных чисел $\text{n}$. Проверим его для $n=1$. Левая часть: $\ln\frac{1+1}{2} = \ln 1 = 0$. Правая часть: $\frac{\ln 1}{1} = 0$. Неравенство $0>0$ является ложным. Следовательно, будем доказывать неравенство для $n \ge 2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \ln x$. Эта функция определена и бесконечно дифференцируема для всех $x > 0$.

Найдем ее вторую производную:

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x > 0$, вторая производная $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна ($f''(x) < 0$). Это означает, что функция $f(x) = \ln x$ является строго вогнутой (выпуклой вверх) на всей своей области определения.

Неравенство Йенсена для строго вогнутой функции $\text{f}$ и набора точек $x_1, x_2, \dots, x_n$ (среди которых есть хотя бы две различные) имеет вид:

$f\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}$

Применим это неравенство для функции $f(x) = \ln x$ и набора точек $x_1=1, x_2=2, \dots, x_n=n$. Для $n \ge 2$ эти точки различны.

Левая часть неравенства Йенсена примет вид:

$f\left(\frac{1 + 2 + \dots + n}{n}\right) = \ln\left(\frac{1 + 2 + \dots + n}{n}\right)$

Сумма первых $\text{n}$ натуральных чисел вычисляется по формуле арифметической прогрессии: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это в выражение:

$\ln\left(\frac{n(n+1)/2}{n}\right) = \ln\left(\frac{n+1}{2}\right)$

Правая часть неравенства Йенсена примет вид:

$\frac{f(1) + f(2) + \dots + f(n)}{n} = \frac{\ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln n}{n}$

Соединив левую и правую части, мы получаем в точности исходное неравенство:

$\ln\frac{n+1}{2} > \frac{\ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln n}{n}$

Таким образом, неравенство доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

Приведем также альтернативное доказательство, основанное на неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Преобразуем правую часть доказываемого неравенства, используя свойства логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

$\frac{\ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln n}{n} = \frac{\ln(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)}{n} = \frac{\ln(n!)}{n} = \ln((n!)^{1/n})$

Тогда исходное неравенство эквивалентно следующему:

$\ln\frac{n+1}{2} > \ln((n!)^{1/n})$

Поскольку функция $y=\ln x$ является строго возрастающей на всей области определения, это неравенство равносильно неравенству для аргументов логарифмов:

$\frac{n+1}{2} > (n!)^{1/n}$

Это неравенство связывает среднее арифметическое и среднее геометрическое для набора чисел $1, 2, \dots, n$.

Среднее арифметическое (СА) этого набора:

СА $= \frac{1+2+\dots+n}{n} = \frac{n(n+1)/2}{n} = \frac{n+1}{2}$

Среднее геометрическое (СГ) этого набора:

СГ $= (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)^{1/n} = (n!)^{1/n}$

Согласно неравенству Коши о средних, для любого набора положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (СА $\ge$ СГ), причем равенство достигается только в том случае, когда все числа равны.

В нашем случае, для $n \ge 2$, числа в наборе $1, 2, \dots, n$ не равны друг другу, поэтому неравенство является строгим: СА > СГ.

Подставляя выражения для СА и СГ, получаем:

$\frac{n+1}{2} > (n!)^{1/n}$

Это неравенство, как было показано ранее, равносильно исходному. Следовательно, исходное неравенство доказано для всех $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$.