Номер 7.126, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.126. Вычислите: $(27^{\log_3 2} + 5^{\log_{0.2} 49}) \cdot (81^{\log_3 4} - 8^{\log_2 9})$

Для решения данного выражения необходимо последовательно упростить каждую из скобок, а затем перемножить полученные результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке: $(27^{\log_3 2} + 5^{\log_{25} 49})$

Для этого преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней и логарифмов. Основные формулы, которые мы будем использовать:

• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$
• Свойство степени в показателе: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Свойство логарифма: $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$
• Свойство логарифма для основания и аргумента в степени: $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$

Вычислим первое слагаемое $27^{\log_3 2}$:

Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2} = 3^{3 \cdot \log_3 2} = 3^{\log_3 2^3} = 3^{\log_3 8}$

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $3^{\log_3 8} = 8$.

Вычислим второе слагаемое $5^{\log_{25} 49}$:

Представим основание логарифма 25 как $5^2$ и число под логарифмом 49 как $7^2$.

$\log_{25} 49 = \log_{5^2} 7^2 = \frac{2}{2} \log_5 7 = \log_5 7$

Тогда выражение принимает вид: $5^{\log_{25} 49} = 5^{\log_5 7}$.

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $5^{\log_5 7} = 7$.

Таким образом, значение выражения в первой скобке равно сумме полученных результатов:

$8 + 7 = 15$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $(81^{\log_9 4} - 8^{\log_2 9})$

Преобразуем уменьшаемое и вычитаемое аналогичным образом.

Вычислим уменьшаемое $81^{\log_9 4}$:

Представим основание 81 как степень числа 9: $81 = 9^2$.

$81^{\log_9 4} = (9^2)^{\log_9 4} = 9^{2 \cdot \log_9 4} = 9^{\log_9 4^2} = 9^{\log_9 16}$

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $9^{\log_9 16} = 16$.

Вычислим вычитаемое $8^{\log_2 9}$:

Представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.

$8^{\log_2 9} = (2^3)^{\log_2 9} = 2^{3 \cdot \log_2 9} = 2^{\log_2 9^3} = 2^{\log_2 729}$

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $2^{\log_2 729} = 729$.

Таким образом, значение выражения во второй скобке равно разности полученных результатов:

$16 - 729 = -713$.

3. Найдем произведение результатов.

Теперь необходимо перемножить значения, полученные для каждой из скобок:

$(27^{\log_3 2} + 5^{\log_{25} 49}) \cdot (81^{\log_9 4} - 8^{\log_2 9}) = 15 \cdot (-713)$

$15 \cdot (-713) = - (15 \cdot 713) = - (10 \cdot 713 + 5 \cdot 713) = - (7130 + 3565) = -10695$.

Ответ: $-10695$.